Представление числа в системе остаточных классов

Материал из Модулярная арифметики
Перейти к: навигация, поиск

Представление чисел в виде набора остатков от деления на выбранные натуральные модули - основания системы называется системой остаточных классов - СОК (residue number system - RNS) или модулярной системой счисления - МСС (modular system).

Такие системы счисления являются непозиционными кодами с параллельной структурой, которые позволяют реализовать идею распараллеливания операций на уровне выполнения элементарных арифметических действий.

Пусть заданы положительные числа p_1, p_2,\ldots , p_n, которые называют основаниями или модулями системы. Обозначим p= p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots  \cdot p_n.

Эта величина характеризует объём диапазона системы. Под системой остаточных классов понимают такую непозиционную систему счисления, в которой целое неотрицательное число А можно представить в виде набора остатков от деления этого числа на выбранные основания системы, т. е.

A = a_1, a_2 , \ldots  , a_n, где a_i = A-[ \frac {A}{p_i}]\cdot p_i, i=1,\ldots ,n (1).

Возможность такого представления числа определяется теоремой о делении с остатком в кольце целых чисел. Напомним формулировку этой теоремы (в обозначениях этого раздела).

Теорема

Если A\in Z, p\in Z, p\neq 0, то существуют единственные q\in Z, a\in Z, такие, что A=qp+a, 0 \le a < |p|, q=[\frac {A}{p}].


Несложно заметить, что каждый остаток a_i получается независимо от других и содержит информацию обо всём числе. Установить взаимно-однозначное соответствие между целыми числами из диапазона [0, P) и их остатками позволяет китайская теорема об остатках. Возможность применения СОК в вычислительных алгоритмах обуславливается наличием определённого изоморфизма между математическими операциями над целыми числами и соответствующими операциями над системой целых неотрицательных остатков по отдельным модулям. Причём сложение, умножение, возведение в целую положительную степень любых целых положительных чисел совершенно идентичны соответствующим операциям, выполняемым над системой остатков.

Пусть операнды A и B, а также результаты операций сложения и умножения A+B и A\cdot B</math> представлены соответственно остатками

a_i, b_i, c_i, d_i по основаниям p_i, i=1,|ldots,n, причём оба числа и результаты находятся в диапазоне [0, P), то есть

A=(a_1, a_2, \ldots , a_n),

B=(b_1, b_2, \ldots , b_n),

A+B=(c_1, c_2, \ldots , c_n),

D=(d_1, d_2, \ldots , d_n),

и

0\le A<P, 0\le B<P, 0\le A+B<P, 0\le A\cdot B<P.

Эти выражения можно переписать в виде

c_i=a_i+b_i\pmod{p_i}; d_i=a_i\cdot b_i\pmod{p_i};

c_i=a_i+b_i - [\frac{a_i+b_i}{p_i}]; d_i=a_i\cdot b_i - [\frac{a_i\cdot b_i}{p_i}];

Справедливость этих правил выполнения арифметических действий в СОК непосредственно вытекает из свойств сравнения.

Действительно, равенства можно переписать в виде

c_i=A+B - [\frac{A+B}{p_i}], i=1,\ldots ,n.

Из представления A и B по теореме о делении с остатком следует, что

A=k_i\cdot p_i+a_i, B=l_i\cdot p_i+b_i,

где  i=1,\ldots ,n, k_i\in Z, k_i\ge 0, l_i\in Z, l_i\ge 0.

Тогда A+B=(k_i+l_i)\cdot p_i + a_i + b_i, [\frac{A+B}{p_i}]=k_i+l_i + [\frac{a_i + b_i}{p_i}]\cdot p_i,

Откуда c_i = a_i+b_i- [\frac{a_i + b_i}{p_i}]\cdot p_i.

В случае умножения

d_i = a_i\cdot b_i- [\frac{A\cdot B}{p_i}]\cdot p_i.

Тогда A\cdot B=k_i\cdot l_i\cdot {p_i}^2 + (a_i\cdot l_i + b_i\cdot k_i)\cdot p_i + a_i\cdot b_i, [\frac{A\cdot B}{p_i}]=k_i\cdot l_i\cdot p_i + a_i\cdot l_i + b_i\cdot k_i + \frac{a_i\cdot b_i}{p_i}.

Следовательно, d_i = a_i\cdot b_i- [\frac{a_i\cdot b_i}{p_i}]\cdot p_i, (i=1,\ldots , n).

Примеры

Выводы

В отличие от позиционной системы счисления (ПСС), значение числа в модулярном коде не зависит от местоположения каждого разряда в его представлении, а зависит от значения основания соответствующего разряда. Поэтому модулярный код является непозиционным. Таким образом, выполнение арифметических операций в модулярном коде производится независимо по каждому из модулей, что и указывает на параллелизм данной системы. Это обстоятельство определяет поразрядное выполнение операций. Это свойство избавит от необходимости «занимать» или «переносить» единицу старшего разряда, что приводит к появлению кодов с параллельной структурой. Это позволяет распараллелить алгоритмы при выполнении арифметических операций.

Перевод чисел из ПСС в СОК при помощи выражения (1) связан с реализацией операции деления, поэтому использование данного метода неэффективно. Итак, операции сложения и умножения над числами, представленными в СОК, сводятся к соответствующим операциям над цифрами этого представления. Это относится и к возведению в степень, к вычислению значений многочлена и т. п. Операция вычитания в СОК заменяется сложением с аддитивной инверсией отрицательного числа. Все эти операции модульные, т. е. не требуют позиционных характеристик обрабатываемых чисел.