Бимодульная модулярная арифметика

Материал из Модулярная арифметики
Версия от 16:57, 18 июня 2014; Isaeva (обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)
Перейти к: навигация, поиск

Аддитивный характер вычислений в кольце вычетов  Z_p порождает дополнительные расходы на выполнение арифметических операций. Это обусловлено тем, что результат выполненной операции может выйти за диапазон  Z_p , тогда требуется корректировка результата, т.е. взятие результата выполненной операции по модулю. Мультипликативная операция над остатками  x, y \text{ mod }p более трудоемка, поэтому наиболее эффективным способом избежать прямой реализации мультипликативной операции является переход к индексам вычетов по основанию первообразного корня, однозначно связанных с данным модулярным кодом.

В случае индексной арифметики операция «+» выполняется за один такт модульного суммирования, а операция «*» за такт модульного суммирования и два такта табличной операции. Бимодульная модулярная арифметика направлена на то, чтобы сбалансировать выполнение модульных операций.


Содержание

Кодовая конструкция проф. Д.А. Поспелова

Д.А. Поспелов ввел представление исходных операндов в виде пар  <|x|_p, ind_w|x|_p> , где  |x|_p есть вычет  x по модулю  p ,  i = ind_w|x|_p - соответствующий вычету  |x|_p индекс по основанию  w (см. Модулярная логарифметика), при этом условно считается, что вычету 0 соответствует специальный символ  \lambda (обозначается также  inf ), который обладает свойством  \lambda+i=i+\lambda для любого для любого индекса  0\le i\le p-2 . Таким образом, все операции поля выполняются над парами чисел.

Если требуется найти сумму двух операндов по модулю  p , то суммируются по модулю  p первые компоненты пар; для формирования второй компоненты пары результата этот результат преобразуется в индекс путем выборки значения из таблицы индексов (рис.1):

Рис.1. Структурная схема операции сложения


Если требуется найти произведение двух операндов по модулю  p , то суммируются по модулю  p - 1 вторые компоненты пар; для формирования первой компоненты пары результата этот результат преобразуется в антилогарифм (вычет) путем выборки значения из таблицы вычетов (рис.2):

Рис.2. Структурная схема операции умножения


Арифметику, построенную на парном представлении операндов, будем называть бимодульной арифметикой поля  GF(p).

Таким образом, операции сложения и умножения сведены к операциям сложения по модулю  p и модулю  p-1 , соответственно, и одной табличной операции выбора второй компоненты пары результата. Такое решение позволяет сократить время выполнения мультипликативной операции на один такт табличной операции и площадь на хранение двух таблиц преобразования в индексы, размерность каждой таблицы 2(p-1). При этом, Д.А. Поспелов утверждает [1, стр. 296], что, несмотря на то, что логика операции умножения по модулю  p стала более сложной, чем в обычной системе кода в остатках, выигрыш состоит в «однотипности оборудования для производства операций сложения и умножения». Данное утверждение справедливо в общем случае, когда сумматоры по модулям  p и  (p-1) проектируются по методу прямой логической реализации с использованием двоичных функциональных блоков. В этом случае суммирование по модулю  m для двух операндов  x и  y , находящихся в диапазоне {0, 1,\ldots, m-1}, выполняется по следующей формуле:

{|x+y|}_m = \begin{cases}
  x+y, & \mbox{if } (x+y) < m ; \\
  x+y-m,  & \mbox{if } (x+y) \ge m. 
\end{cases}


Пример

Пусть надо выполнить сложение и умножение:

 sum = (a+b) \text{ mod } p ,
 prod = (a*b) \text{ mod } p ,

где 

 0 <= a < p ,
 0 <= b < p ,

 p – простое число,  \text{ mod } p – операция нахождения остатка по модулю.


Рассмотрим пример для модуля  p = 11 . Первообразный корень  w для этого значения модуля равен 2. А именно, возведение  w в степень 0, 1, … 9 дает неповторяющиеся результаты:

 (2^0) \text{ mod } 11 = 1 \text{ mod } 11 = 1
 (2^1) \text{ mod } 11 = 2 \text{ mod } 11 = 2
 (2^2) \text{ mod } 11 = 4 \text{ mod } 11 = 4
 (2^3) \text{ mod } 11 = 8 \text{ mod } 11 = 8
 (2^4) \text{ mod } 11 = 16 \text{ mod } 11 = 5
 (2^5) \text{ mod } 11 = 32 \text{ mod } 11 = 10
 (2^6) \text{ mod } 11 = 64 \text{ mod } 11 = 9
 (2^7) \text{ mod } 11 = 128 \text{ mod } 11 = 7
 (2^8) \text{ mod } 11 = 256 \text{ mod } 11 = 3
 (2^9) \text{ mod } 11 = 512 \text{ mod } 11 = 6


Для получения таблицы преобразования между обычным и индексным представлением расположим полученные пары значений в порядке возрастания. Для модуля  p = 11 таблицы будет выглядеть следующим образом.


Таблица прямого преобразования:

Число 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Индекс 0 1 8 2 4 9 7 3 6 5


Таблица обратного преобразования:

Индекс 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Число 1 2 4 8 5 10 9 7 3 6


В качестве примера возьмем числа 8 и 6. Эти числа представляются парами <8,3> и <6,9>.

Найдем значение выражения (8+6) mod 11 обычным образом. Это первое число пары, представляющей результат сложения. (8+6) mod 11 = 14 mod 11 = 3. По таблице прямого преобразования находим, что числу 3 соответствует значение индекса 8. Это второе число пары. Итак.

 <sum, ind_2 {(sum)}> = <8,3> + <6,9> = <3,8> .

Найдем значение выражения (8*6) mod 11 используя средства логарифметики. Числа 8 и 6 имеют соответствующие индексы 3 и 9 (см. таблицу прямого преобразования). Просуммировав эти индексы по модулю (11-1) = 10 получим результат (3+9) mod 10 = 12 mod 10 = 2. Это второе число пары, представляющей результат умножения. По таблице обратного преобразования находим для индекса 2 конечный результат, равный 4. Это первое число пары. Итак,

 <prod, ind_2 {(prod)}> = <8,3> * <6,9> = <4,2> .


Модифицированная кодовая конструкция

Рассмотренный метод построения сумматоров по модулю, во-первых, позволяет в полной мере использовать современные наработки в области проектирования двоичных устройств, во-вторых, предоставляет большую гибкость при реализации каждого компонента в составе всего вычислительного блока в зависимости от требований к занимаемой площади и быстродействию. В-третьих, метод универсален, т.е. независим от специфики используемого базового модуля m.

Однако в настоящее время все большую популярность завоевывают гибридные методы построения базовых арифметических узлов модулярной арифметики. Такие методы представляют собой комбинацию методов прямой логической реализации и методов на основе таблиц состояний. Использование гибридных методов обеспечивает компромисс между быстродействием и затратами на занимаемую площадь для некоторых значений модулей. В случае же реализации арифметики в кодах Д.А. Поспелова требуется оценивать проектирование сумматоров не только относительно базового модуля  p , но и модуля  p-1 , иначе теряется основная идея данного кодирования, а именно, однотипность оборудования.

Следующая модификация кода Д.А. Поспелова развивает его идею однотипности. Развитие идеи однотипности состоит в том, чтобы аддитивные и мультипликативные операции модульной арифметики выполнялись не только аппаратно однотипно, но и однотипно в кодовом представлении операндов. Это достигается путем перехода от предствления компонент пар операндов по модулям  p и  p-1 к однородному представлению по модулю  p-1 .


Введем понятие модифицированного вычета по модулю:

  {|\tilde x|}_p = {\lambda}_p \cdot \delta \cdot ((p-1)-|x|_p) + {||x|_p|}_{p-1} \cdot {\hat \delta} \cdot ((p-1)-|x|_p),

где

 {\delta}(u) = \begin{cases}
  1, & \mbox{if } u=0, \\
  0, & \mbox{if } u\ne 0,
\end{cases}
- функция Кронекера ,


 {\hat \delta}(u) = 1-{\delta}(u) - кофункция Кронекера.


Для представления второй компоненты пары операнда будем использовать дискретно-логарифметическое представление. Этот способ представления является эффективным при использовании небольших значений модулей порядка 8 бит, что является достаточным при проектировании большинства вычислительных устройств, предназначенных для решения специальных задач из области применения модулярной арифметики. Тем самым вторая компонента пары операндов будет иметь вид:

  log_w{|\tilde x|}_p = \delta({|\tilde x|}_p) \cdot {\lambda}_p + {\hat \delta}({|\tilde x|}_p) \cdot ind_w (x_p) , где
 ind_w|{\tilde x}|_p - индекс вычета  |{\tilde x}|_p по основанию  w , т.е.
 |{\tilde x}|_p \ne 0 \Leftrightarrow |{w^{ind_w|{\tilde x}|_p}| = |{\tilde x}|_p} .

В этом случае полагается, что при  t -битном простом числе  p константный символ  {\lambda}_p = 2^t-1 . Очевидно, что при любом простом  p  {\lambda}_p \notin Z_{p-1} .

Распишем, как в бимодульной арифметике будут выполняться арифметические операции.

Реализация мультипликативных операций останется без изменений:

если

 <|{\tilde x}|_{p}, log_w{|{\tilde x}|}_p> ,  <|{\tilde y}|_{p}, log_w{|{\tilde y}|}_p> ,

то

 (x \cdot y) \text{mod }p \longrightarrow < log^{-1} (|{log_w|{\tilde x}|_p + log_w|{\tilde y}|_p}|_{p-1}), log^{-1} (|{log_w|{\tilde x}|_p + log_w|{\tilde y}|_p}|_{p-1}) >


т.е.

(x \cdot y) \text{mod }p = \begin{cases}
  {\lambda}_p, & \mbox{if } {\delta(log_w|{\tilde x}|_p - {\lambda}_p})\vee {\delta(log_w|{\tilde y}|_p - {\lambda}_p}) = 1, \\
  ||{log_w|{\tilde x}|_p + log_w|{\tilde y}|_p}|_{p-1}|_{p-1} ; 
\end{cases}


Логика выполнения аддитивных операций усложнится за счет введения дополнительных логических функций, связанных с переходом к однородному представлению. Аддитивные операции выполняются согласно выражению:

если

 <|{\tilde x}|_{p}, log_w{|{\tilde x}|}_p> ,  <|{\tilde y}|_{p}, log_w{|{\tilde y}|}_p> ,

то

 (x + y) \text{mod }p \longrightarrow < |{\tilde x} + {\tilde y}|_{p-1} , log_w(|{\tilde x} + {\tilde y}|_{p-1}) > ,


т.е.

(x + y) \text{mod }p = \begin{cases}
  p-2, & \mbox{if } {\tilde x} = {\tilde y} = p-1 , \\
  {\lambda}_p,  & \mbox{if } {\tilde x} + {\tilde y} = p-1 , \\
  {\tilde x}-1, & \mbox{if } {\tilde x}\ne 0 , {\tilde y} = {\lambda}_p , \\
  {\tilde y}-1, & \mbox{if } {\tilde y}\ne 0 , {\tilde x} = {\lambda}_p , \\
  {\tilde x} + {\tilde y}, & \mbox{if } {\tilde x} + {\tilde y} < p-1 , \\
  |{\tilde x} + {\tilde y}|_{p-1}-1, & \mbox{if } {\tilde x} + {\tilde y} > p-1 ; 
\end{cases}


Тем самым, переход к однородному представлению операндов позволил выполнять аддитивные и мультипликативные операции на одном оборудовании, а именно на сумматоре по модулю  p-1 . Это положительно влияет и на требования к затратам по занимаемой площади и на контроль выполнения арифметических операций, при этом сохраняется требование однотипности используемого оборудования.


Ссылки

  • [1] Поспелов Д.А. Арифметические основы вычислительных машин дискретного действия. М.: Высш. шк., 1970.

Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация