Вычисление мультипликативных обратных элементов по заданному модулю

Версия 15:25, 4 февраля 2015

Рассмотрим вопрос о мультипликативных обратных элементов по заданному модулю в фактор-кольце $Z_p$ .

Теорема.

Пусть $\bar a \in Z_p$ , тогда класс $a$ имеет мультипликативный обратный элемент по модулю $p$ тогда и только тогда, когда $(a_1, p) = 1$ .

Теорема.

Характеристика $\lambda$ конечного поля – простое число.

Рассмотрим два способа вычисления обратных мультипликативных элементов. Первый способ основан на рассмотренном выше алгоритме Евклида, второй – на теореме Эйлера.

Первый способ

Из условия $(a, p) = 1$ получаем $a \cdot x + p \cdot y = 1$ или $a \cdot x \equiv 1 \pmod{p}$ и, следовательно, $x$ – мультипликативный обратный к $a$ по модулю $p$ .

Второй способ

Напомним теорему Эйлера.

Определение

Функция Эйлера $\varphi (n)$ — это количество чисел от $1$ до $n$ , взаимно простых с $n$ .

Т.е. это количество таких натуральных чисел из отрезка [1; n], наибольший общий делитель (НОД) которых с $n$ равен единице.

Tеоремa Эйлера

Если $a$ и $p$ взаимно просты, то $a^{\varphi(p)} \equiv 1 \pmod p$ , где $\varphi (n)$ - функция Эйлера.

Доказательство теоремы достаточно простое, возможны различные варианты. Приведем здесь теоретико-числовое доказательство.

Доказательство.

Пусть $x_1, \dots, x_{\varphi(p)}$ — все различные натуральные числа, меньшие $p$ и взаимно простые с ним.

Рассмотрим все возможные произведения $x_i a$ для всех $i$ от $1$ до $\varphi(p)$ .

Поскольку $a$ взаимно просто с $p$ и $x_i$ взаимно просто с $p$ , то и $x_i a$ также взаимно просто с $p$ , то есть $x_i a \equiv x_j\pmod p$ для некоторого $j$ .

Отметим, что все остатки $x_i a$ при делении на $p$ различны. Действительно, пусть это не так, то существуют такие $i_1 \neq i_2$ , что

$x_{i_1} a \equiv x_{i_2} a\pmod p$

или

$(x_{i_1} - x_{i_2}) a \equiv 0\pmod p$ .

Так как $a$ взаимно просто с $p$ , то последнее равенство равносильно тому, что

$x_{i_1} - x_{i_2} \equiv 0\pmod p$ или $x_{i_1} \equiv x_{i_2}\pmod p$ .

Это противоречит тому, что числа $x_1, \dots, x_{\varphi(p)}$ попарно различны по модулю $p$ .

Перемножим все сравнения вида $x_i a \equiv x_j\pmod p$ . Получим:

$x_1 \cdots x_{\varphi(p)} a^{\varphi(p)} \equiv x_1 \cdots x_{\varphi(p)}\pmod p$

или

$x_1 \cdots x_{\varphi(p)} (a^{\varphi(p)}-1) \equiv 0\pmod p$ .

Так как число $x_1 \cdots x_{\varphi(p)}$ взаимно просто с $p$ , то последнее сравнение равносильно тому, что

$a^{\varphi(p)}-1 \equiv 0\pmod p$

или

$a^{\varphi(p)} \equiv 1\pmod p$ .

В частном случае, когда $p$ простое, теорема Эйлера превращается в так называемую малую теорему Ферма:

Малая теорема Ферма

Если $p$ - простое число и $a$ - произвольное целое число, не делящееся на $p$ , то $a^{p-1} \equiv 1 \pmod p$ .

Следствие.

В кольце $Z_p$ классов вычетов по модулю $p$ из $(\bar a, p) = 1$ следует, что $a^{-1} = a^{-{\varphi}(p)-1}$ .

Таким образом, для вычисления мультипликативного обратного к классу $a$ по модулю $p$ в случае, когда $(\bar a, p) = 1$ , достаточно $\bar a$ возвести в степень $k$ , где $k = p-2$ , если $p$ – простое число, и $k = {{\varphi}(p)-1}$ в противном случае.

При таком методе вычисления мультипликативного обратного элемента задача сводится к цепочке умножений и делений с остатком на модуль $p$ . Эта задача решается без особых трудностей, если наименьший положительный вычет $a \in \bar a$ , где $(\bar a, p) = 1$ , представлен в СОК.

Однако, вообще говоря, ${{\varphi}(p)-1}$ не является наименьшим показателем степени, для которого $(\bar a)^{-1} = (\bar a)^{{\varphi}(p)-1}$ .

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 Рассмотрим вопрос о мультипликативных обратных элементов по заданному модулю в фактор-кольце <math>Z_p</math>.
+'''Теорема.'''
+Пусть <math>\bar a \in Z_p</math>, тогда класс <math>a</math> имеет мультипликативный обратный элемент по модулю <math>p</math> тогда и только тогда, когда <math>(a_1, p) = 1</math>.
+'''Теорема.'''
+Характеристика <math>\lambda</math> конечного поля – простое число.
 Рассмотрим два способа вычисления обратных мультипликативных элементов. Первый способ основан на рассмотренном выше алгоритме Евклида, второй – на теореме Эйлера.
-'''Первый способ'''
+''Первый способ''
+Из условия <math>(a, p) = 1</math> получаем <math>a \cdot x + p \cdot y = 1</math> или <math>a \cdot x \equiv 1 \pmod{p}</math> и, следовательно, <math>x</math> – мультипликативный обратный к <math>a</math> по модулю <math>p</math>.
-'''Второй способ'''
+''Второй способ''
 Напомним теорему Эйлера.
@@ Строка 25: / Строка 39: @@
 Доказательство теоремы достаточно простое, возможны различные варианты. Приведем здесь теоретико-числовое доказательство.
-Доказательство.
+''Доказательство.''
 Пусть <math>x_1, \dots, x_{\varphi(p)}</math> — все различные натуральные числа, меньшие <math>p</math> и взаимно простые с ним.
@@ Строка 57: / Строка 71: @@
 Если <math>p</math> - простое число и <math>a</math> - произвольное целое число, не делящееся на <math>p</math>, то <math>a^{p-1} \equiv 1 \pmod p </math>.
+'''Следствие.'''
+В кольце <math>Z_p</math> классов вычетов по модулю <math>p</math> из <math>(\bar a, p) = 1</math> следует, что <math>a^{-1} = a^{-{\varphi}(p)-1}</math>.
+Таким образом, для вычисления мультипликативного обратного к классу <math>a</math> по модулю <math>p</math> в случае, когда <math>(\bar a, p) = 1</math>, достаточно <math>\bar a</math> возвести в степень <math>k</math>, где <math>k = p-2</math>, если <math>p</math> – простое число, и <math>k = {{\varphi}(p)-1}</math> в противном случае.
+При таком методе вычисления мультипликативного обратного элемента задача сводится к цепочке умножений и делений с остатком на модуль <math>p</math>. Эта задача решается без особых трудностей, если наименьший положительный вычет <math>a \in \bar a</math>, где <math>(\bar a, p) = 1</math>, представлен в СОК.
+Однако, вообще говоря, <math>{{\varphi}(p)-1}</math> не является наименьшим показателем степени, для которого <math>(\bar a)^{-1} = (\bar a)^{{\varphi}(p)-1}</math>.

Вычисление мультипликативных обратных элементов по заданному модулю

Версия 15:25, 4 февраля 2015

Персональные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Действия

Поиск

Навигация