Китайская теорема об остатках

Текущая версия на 12:51, 4 февраля 2015

Китайская теорема об остатках формулируется следующим образом:

Теорема.

Пусть $p_1, p_2, \ldots, p_k$ - попарно взаимно простые числа, большие 1, и пусть $P = p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_k$ . Тогда существует единственное неотрицательное решение по модулю $P$ следующей системы сравнений:

$x \equiv a_1 \pmod{p_1}$ ,

$x \equiv a_2 \pmod{p_2}$ , (*)

$\ldots$

$x \equiv a_k \pmod{p_k}$ .

Другими словами, отображение, которое каждому целому числу $x$ , $0\le x <P$ , ставит в соответствие кортеж $a_1, a_2, \ldots, a_k$ , где $x \equiv a_i \pmod{p_i}, i = 1, \ldots k$ , является биекцией кольца $Z_P$ на декартово произведение $Z_{p_1} \times Z_{p_2} \times \ldots \times Z_{p_k}$ колец $Z_{p_1}, Z_{p_2}, \ldots, Z_{p_k}$ .

Т.е. соответствие между числами и кортежами является взаимно однозначным, кроме того, операции, выполняемые над числом $a$ , можно эквивалентно выполнять над соответствующими элементами кортежами путём независимого выполнения операций над каждым компонентом:

если

$a \Longleftrightarrow (a_1, \ldots, a_k)$ ,

$b \Longleftrightarrow (b_1, \ldots, b_k)$ ,

то справедливо:

$(a+b) \pmod{p} \Longleftrightarrow ( (a_1+b_1) \pmod{p_1}, (a_2+b_2) \pmod{p_2}, \ldots, (a_k+b_k) \pmod{p_k})$ ,

$(a-b) \pmod{p} \Longleftrightarrow ( (a_1-b_1) \pmod{p_1}, (a_2-b_2) \pmod{p_2}, \ldots, (a_k-b_k) \pmod{p_k})$ ,

$(a\cdot b) \pmod{p} \Longleftrightarrow ( (a_1\cdot b_1) \pmod{p_1}, (a_2\cdot b_2) \pmod{p_2}, \ldots, (a_k\cdot b_k) \pmod{p_k})$ .

Существует много различных доказательств китайской теоремы об остатках. Приведём конструктивное доказательство этой теоремы.

Доказательство существования.

Доказательство 1.

Систему (*) можно решить так:

(1) Для $i=1,\ldots, k$ обозначим $z_i=P/p_i=p_1\cdot p_2\cdot\ldots\cdot p_{i-1}\cdot p_{i+1}\cdot \ldots\cdot p_k$ .

(2) Для $i=1,\ldots, k$ обозначим $y_i=z_{i}^{-1} \pmod{p_i}$ . (Заметим, что это всегда можно сделать, поскольку $(z_i, p_i)=1$ .

(3) Решением системы является число $x=a_1\cdot y_1\cdot z_1 + \ldots +a_k\cdot y_k\cdot z_k=1$ .

Действительно, рассмотрим выражение для $x$ и вычислим, например, $x \equiv a_1 \pmod{p_1}$ . Заметим, что $z_i \equiv 0 \pmod{p_1}$ при $i\ne 1$ (это видно из выражения (1) для $z_i$ ). Таким образом, вычисляя $x \pmod{p_1}$ , получаем $x \equiv a_1\cdot y_1\cdot z_1 \pmod{p_1}$ . Но из определения $y_i$ (2) следует, что $y_1\cdot z_1 \equiv 1 \pmod{p_1}$ , так что получаем $x \equiv a_1 \pmod{p_1}$ .

То же самое верно для других значений $i$ .

Существование решения доказано.

Доказательство 2.

Найдём число $x, 0\le x < P$ , удовлетворяющее одновременно всем сравнениям, указанным в теореме. Систему сравнений будем решать присоединением на каждом шаге нового сравнения. Первое сравнение справедливо для всякого целого числа $x$ вида

$x=a_1+p_1\cdot q_1$ , где $q_1$ - произвольное целое число.

Для нахождения $q_1$ подставим значение $x$ во второе сравнение системы, после чего получим $x=a_1+p_1\cdot q_1 \equiv a_2 \pmod{p_2}$ , откуда $q_1\equiv a_1+p_{1}^{-1}\cdot(a_2-a_1) \pmod{p_2}$ ,

где $p_{1}^{-1}$ - обратный мультипликативный элемент к $p_1$ по модулю $p_2$ . Такой элемент существует, так как $(p_1, p_2)=1$ .

Найденное таким образом $q_1$ можно записать в виде

$q_1 =p_{1}^{-1}\cdot (a_2-a_1) + p_2\cdot q_2$

для некоторого целого числа $q_2$ .

Подставим значение $q_1$ в выражение $x =a_{1,2}+q_2\cdot p_1\cdot p_2$ .

Теперь первые два сравнения могут быть заменены на одно $x =a_{1,2}+q_2\cdot p_1\cdot p_2$ .

Применим теперь описанную процедуру к полученному сравнению и к одному из оставшихся сравнений исходной системы. Повторяя этот процесс $(k-1)$ раз, мы в конечном итоге найдём число $x$ , удовлетворяющее всем сравнениям исходной системы.

Существование решения доказано.

Доказательство единственности.

Докажем единственность решения. Воспользуемся методом от противного. Предположим, что существует другое решение $x', 0\le x' < P$ исходной системы.

Тогда

$\begin{cases}x \equiv a_i \pmod{p_i},\\ x' \equiv a_i \pmod{p_i}\\ \end{cases}$

для всех $i=1,\ldots,k$ .

Вычитая почленно из первого сравнения второе, получим истинное сравнение $(x-x') \equiv 0 \pmod{p_i}$ , откуда следует, что для всех $i=1,\ldots,k$ выражение $(x-x')$ делится нацело на $p_i$ . Но тогда $(x-x')$ делится нацело на $P$ ,следовательно, $x=x'$ , так как $|x-x'|<P$ .

Теорема доказана.

Пример.

Решим систему сравнений

$\begin{cases}x \equiv 1 \pmod{13},\\ x \equiv 4 \pmod{15},\\ x \equiv 8 \pmod{19}\\ \end{cases}$

Решение

Так как модули $13, 15, 19$ попарно взаимно просты, то данная система имеет единственное решение по модулю $P = 13\cdot 15\cdot 19 = 3705$ . Сравнение $x = 1 \pmod{13}$ соответствует диофантову уравнению $x = 1 + 13\cdot t$ , где $t \in Z$ .

Заменяя $x$ во втором сравнении системы на $1 + 13\cdot t$ , получаем $1 + 13\cdot t \equiv 4 \pmod{15}$ , т.е. $13\cdot t \equiv 3 \pmod{15}$ .

К числу $13$ обратным мультипликативным элементом по модулю $15$ является число $7$ . Умножая последнее сравнение на $7$ и переходя в нём к вычетам по модулю 15, получим $t \equiv 6 \pmod{15}$ . Таким образом, $t = 6 + 15\cdot u$ , где $u \in Z$ .

Следовательно, $x = 1 + 13\cdot t = 1+13 \cdot (6 + 15 \cdot u) = 79 + 195 \cdot u$ , при этом все числа вида $x = 79 + 195 \cdot u, u \in Z$ являются решениями первых двух сравнений данной системы.

Подставим в третье сравнение вместо $x$ полученное выше значение $79 + 195 \cdot u$ :

$79 + 195 \cdot u \equiv 8 \pmod{19}$ ,

или (переносим $79$ )

$195 \cdot u \equiv 5 \pmod{19}$ ,

далее (делим обе части на $5$ )

$39 \cdot u \equiv 1 \pmod{19}$ .

Так как $(39, 19) = 1$ , то $u \equiv 1 \pmod{19}$ , или $u = 1 + 19 \cdot v, v \in Z$ .

Итак,

$79 + 195 \cdot u = 79 + 195 \cdot (1 + 19 \cdot v) = 274 + 3705 \cdot v$ , т.е. $x = 274$ .

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 Китайская теорема об остатках формулируется следующим образом:
-Теорема.
+'''Теорема'''.
 Пусть <math>p_1, p_2, \ldots, p_k</math> - попарно взаимно простые числа, большие 1, и пусть <math>P = p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots  \cdot p_k</math>. Тогда существует единственное неотрицательное решение по модулю <math>P</math> следующей системы сравнений:
 : <math>x \equiv a_1 \pmod{p_1}</math>,
-: <math>x \equiv a_2 \pmod{p_2}</math>,
+: <math>x \equiv a_2 \pmod{p_2}</math>,     (*)
-: <math>\ldots</math>,
+: <math>\ldots</math>
 : <math>x \equiv a_k \pmod{p_k}</math>.
-Другими словами, отображение, которое каждому целому числу <math>x</math>, <math>0\le x <P</math>, ставит в соответствие кортеж <math>a_1, a_2, \ldots, a_k</math>, где <math>x \equiv a_i \pmod{p_i}, i = 1, \ldots k</math> является биекцией кольца <math>Z_P</math> на декартово произведение <math>Z_{p_1} \times Z_{p_2} \times \ldots \times Z_{p_k}</math>  колец <math>Z_{p_1}, Z_{p_2}, \ldots, Z_{p_k}</math>.
+Другими словами, отображение, которое каждому целому числу <math>x</math>, <math>0\le x <P</math>, ставит в соответствие кортеж <math>a_1, a_2, \ldots, a_k</math>, где <math>x \equiv a_i \pmod{p_i}, i = 1, \ldots k</math>, является биекцией кольца <math>Z_P</math> на декартово произведение <math>Z_{p_1} \times Z_{p_2} \times \ldots \times Z_{p_k}</math>  колец <math>Z_{p_1}, Z_{p_2}, \ldots, Z_{p_k}</math>.
 Т.е. соответствие между числами и кортежами является взаимно однозначным, кроме того, операции, выполняемые над числом <math>a</math>, можно эквивалентно выполнять над соответствующими элементами кортежами путём независимого выполнения операций над каждым компонентом:
@@ Строка 29: / Строка 31: @@
 Существует много различных доказательств китайской теоремы об остатках. Приведём конструктивное доказательство этой теоремы.
+''Доказательство существования.''
+''Доказательство 1.''
+Систему (*) можно решить так:
+(1) Для <math>i=1,\ldots, k</math> обозначим <math>z_i=P/p_i=p_1\cdot p_2\cdot\ldots\cdot p_{i-1}\cdot p_{i+1}\cdot \ldots\cdot p_k</math>.
+(2) Для <math>i=1,\ldots, k</math> обозначим <math>y_i=z_{i}^{-1} \pmod{p_i}</math>. (Заметим, что это всегда можно сделать, поскольку <math>(z_i, p_i)=1</math>.
+(3) Решением системы является число <math>x=a_1\cdot y_1\cdot z_1 + \ldots +a_k\cdot y_k\cdot z_k=1</math>.
+Действительно, рассмотрим выражение для <math>x</math> и вычислим, например, <math>x \equiv a_1 \pmod{p_1}</math>. Заметим, что <math>z_i \equiv 0 \pmod{p_1}</math> при <math>i\ne 1</math> (это видно из выражения (1) для <math>z_i</math>). Таким образом, вычисляя <math>x \pmod{p_1}</math>, получаем <math>x \equiv a_1\cdot y_1\cdot z_1 \pmod{p_1}</math>. Но из определения <math>y_i</math> (2) следует, что <math>y_1\cdot z_1 \equiv 1 \pmod{p_1}</math>, так что получаем <math>x \equiv a_1 \pmod{p_1}</math>.
+То же самое верно для других значений <math>i</math>.
+''Существование решения доказано.''
+''Доказательство 2.''
+Найдём число <math>x, 0\le x < P</math>, удовлетворяющее одновременно всем сравнениям, указанным в теореме. Систему сравнений будем решать присоединением на каждом шаге нового сравнения. Первое сравнение справедливо для всякого целого числа <math>x</math> вида
+<math>x=a_1+p_1\cdot q_1</math>, где <math>q_1</math> - произвольное целое число.
+Для нахождения <math>q_1</math> подставим значение <math>x</math> во второе сравнение системы,
+после чего получим <math>x=a_1+p_1\cdot q_1 \equiv a_2 \pmod{p_2}</math>,
+откуда <math>q_1\equiv a_1+p_{1}^{-1}\cdot(a_2-a_1) \pmod{p_2}</math>,
+где <math>p_{1}^{-1}</math> - обратный мультипликативный элемент к <math>p_1</math> по модулю <math>p_2</math>.
+Такой элемент существует, так как <math>(p_1, p_2)=1</math>.
+Найденное таким образом <math>q_1</math> можно записать в виде
+<math>q_1 =p_{1}^{-1}\cdot (a_2-a_1) + p_2\cdot q_2</math>
+для некоторого целого числа <math>q_2</math>.
+Подставим значение <math>q_1</math> в выражение
+<math>x =a_{1,2}+q_2\cdot p_1\cdot p_2</math>.
+Теперь первые два сравнения могут быть заменены на одно
+<math>x =a_{1,2}+q_2\cdot p_1\cdot p_2</math>.
+Применим теперь описанную процедуру к полученному сравнению и к одному из оставшихся сравнений исходной системы. Повторяя этот процесс <math>(k-1)</math> раз, мы в конечном итоге найдём число <math>x</math>, удовлетворяющее всем сравнениям исходной системы.
+''Существование решения доказано.''
+''Доказательство единственности.''
+Докажем единственность решения. Воспользуемся методом от противного. Предположим, что существует другое решение <math>x', 0\le x' < P</math> исходной системы.
+Тогда
+:<math>\begin{cases}x \equiv a_i \pmod{p_i},\\
+x' \equiv a_i \pmod{p_i}\\
+\end{cases}</math>
+для всех <math>i=1,\ldots,k</math>.
+Вычитая почленно из первого сравнения второе, получим истинное сравнение <math>(x-x') \equiv 0 \pmod{p_i}</math>,
+откуда следует, что для всех <math>i=1,\ldots,k</math> выражение  <math>(x-x')</math> делится нацело на <math>p_i</math>. Но тогда <math>(x-x')</math> делится нацело на <math>P</math>,следовательно, <math>x=x'</math>, так как <math>|x-x'|<P</math>.
+''Теорема доказана.''
+'''Пример.'''
+Решим систему сравнений
+:<math>\begin{cases}x \equiv 1 \pmod{13},\\
+x \equiv 4 \pmod{15},\\
+x \equiv 8 \pmod{19}\\
+\end{cases}</math>
+''Решение''
+Так как модули <math>13, 15, 19</math> попарно взаимно просты, то данная система имеет единственное решение по модулю <math>P = 13\cdot 15\cdot 19 = 3705</math>. Сравнение <math>x = 1 \pmod{13}</math> соответствует диофантову уравнению <math>x = 1 + 13\cdot t</math>, где <math>t \in Z</math>.
+Заменяя <math>x</math> во втором сравнении системы на <math>1 + 13\cdot t</math>, получаем <math>1 + 13\cdot t \equiv 4 \pmod{15}</math>, т.е. <math>13\cdot t \equiv 3 \pmod{15}</math>.
+К числу <math>13</math> обратным мультипликативным элементом по модулю <math>15</math> является число <math>7</math>. Умножая последнее сравнение на <math>7</math> и переходя в нём к вычетам по модулю 15, получим <math>t \equiv 6 \pmod{15}</math>. Таким образом, <math>t = 6 + 15\cdot u</math>, где <math>u \in Z</math>.
+Следовательно, <math>x = 1 + 13\cdot t = 1+13 \cdot (6 + 15 \cdot u) = 79 + 195 \cdot u</math>, при этом все числа вида <math>x = 79 + 195 \cdot u, u \in Z</math> являются решениями первых двух сравнений данной системы.
+Подставим в третье сравнение вместо <math>x</math> полученное выше значение <math>79 + 195 \cdot u</math>:
+:<math>79 + 195 \cdot u \equiv 8 \pmod{19}</math>,
+или (переносим <math>79</math>)
+:<math>195 \cdot u \equiv 5 \pmod{19}</math>,
+далее (делим обе части на <math>5</math>)
+:<math>39 \cdot u \equiv 1 \pmod{19}</math>.
+Так как <math>(39, 19) = 1</math>, то <math>u \equiv 1 \pmod{19}</math>, или <math>u = 1 + 19 \cdot v, v \in Z</math>.
+Итак,
+:<math>79 + 195 \cdot u = 79 + 195 \cdot (1 + 19 \cdot v) = 274 + 3705 \cdot v</math>, т.е. <math>x = 274</math>.

Китайская теорема об остатках

Текущая версия на 12:51, 4 февраля 2015

Персональные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Действия

Поиск

Навигация