Просмотр исходного текста страницы Описание КТО II

== Китайская теорема об остатках "второй версии"==

При детальном рассмотрении, то что в [1] называется CRT II, по сути является ни чем иным, как обратным преобразователем на основе преобразования в полиадический код, в несколько видоизмененном виде. За основу взята стратегия devide and conquer (такая же стратегия используется в БПФ).
Базисом КТО II является формула восстановления числа по двум остаткам <math>x_1, x_2</math>, по основаниям <math>p_1, p_2</math>:

<math>X=x_1+||x_2-x_1|_{p_2}\cdot|p_1^{-1}|_{p_2}|_{p_2} \cdot p_1</math>

Как мы можем видеть, формула  является переводом на базе перевода в полиадический код. Архитектура такого преобразователя можно изобразить следующим образом:

[[Файл:Crt2 1.JPG]]

Если мы рассмотрим модулярную систему с большим числом оснований, то принцип состоит в следующем:
* Разбиваем имеющиеся вычеты по парам 
* По базовой формуле для всех пар находим <math>X_1, X_2, ...</math>. Это будут вычеты по произведениям пар модулей 
* Возвращаемся на пункт 1 с новыми вычетами <math>X_1, X_2, ...</math> и новыми модулями <math>P_k=p_{i} \cdot p_j</math>


В качестве '''примера''' рассмотрим реализацию обратного преобразователя для четырех оснований <math>p_1, p_2, p_3, p_4</math> и четырех остатков <math>x_1, x_2, x_3, x_4</math>:


* ''1 этап. Находим остаток <math>X_1</math> числа <math>X</math> по модулю <math>P_1=p_1*p_2</math>''
<math>|X|_{p_1*p_2}=X_1=x_1+||x_2-x_1|_{p_2} \cdot |p_1^{-1}|_{p_2}|_{p_2} \cdot p_1</math>


* ''2 этап. Находим остаток <math>X_2</math> числа <math>X</math> по модулю <math>P_2=p_3*p_4</math>''
<math>|X|_{p_3*p_4}=X_2=x_3+||x_4-x_3|_{p_4} \cdot |p_3^{-1}|_{p_4}|_{p_4} \cdot p_3</math>


* ''3 этап. Находим <math>X</math> по остаткам <math>X_1</math> и <math>X_2</math> и модулям <math>P_1</math> и <math>P_2</math>''
<math>X=X_1+||X_2-X_1|_{P_2}\cdot|P_1^{-1}|_{P_2}|_{P_2} \cdot P_1</math>

[[Файл:Crt2 2.JPG]]


Преимущества данной структуры над обычным преобразователем через смешанную систему оснований еще требует проверки.



[1]Yuke Wang, “Residue-to-Binary Converters Based On New Chinese Remainder Theorems,” IEEE Transactions on Circuits and Systems – II: Analog and Digital Signal Processing, vol. 47, No. 3, pp.197–205, March 2000.