Перевод числа из СОК в обобщенную позиционную систему

Версия 15:49, 15 октября 2014

Рассмотрим метод определения величины числа связанный с переводом числа из системы остаточных классов в обобщенную позиционную систему (ОПС). Для этого выявим связь между представлением некоторого числа в этих двух системах.

Алгоритм перевода числа из СОК в обобщенную позиционную систему

Пусть СОК задается основаниями $p_1, p_2, \ldots, p_n$ и $A = ({\alpha}_1, {\alpha}_2, \ldots, {\alpha}_n)$ - число в этой системе. И пусть $p_1, p_2, \ldots, p_n$ являются также основаниями ОПС, тогда число $A$ можно представить в виде

$A = a_n\cdot p_1\cdot p_2\cdot \ldots \cdot p_{n-1} + a_{n-1}\cdot p_1\cdot p_2\cdot \ldots \cdot p_{n-2} + \ldots + a_3\cdot p_1\cdot p_2 + a_2\cdot p_1 + a_1$

где $0\le a_k<p_1\cdot p_2\cdot \ldots \cdot p_{k-1}$ – коэффициенты (цифры) ОПС.

Очевидно, что диапазоны чисел, представимых в СОК и ОПС совпадают, т.е. можно говорить о наличии взаимно однозначного соответствия между множеством представлений чисел в СОК и ОПС.

Предыдущее равенство можно переписать в следующем виде:

$A = a_1 + p_1(a_2 + p_2(a_3 + \ldots +p_{n-2}(a_{n-1} + p_{n-1} a_n) \ldots ))$ ,

откуда следует, что цифры ОПС могут быть получены из соотношений:

$a_1 = A - \left[ \frac{A}{p_1}\right] \cdot p_1 = A - A_1\cdot p_1$ , где $A_1 = \left[ \frac{A}{p_1}\right]$ ,

$a_2 = A_1 - \left[ \frac{A_1}{p_2}\right] \cdot p_2 = A_1 - A_2\cdot p_2$ , где $A_2 = \left[ \frac{A_1}{p_2}\right]$ ,

$\ldots$

$a_n = A_{n-1} - \left[ \frac{A_{n-1}}{p_n}\right] \cdot p_n = A_{n-1} - A_n\cdot p_n$ , где $A_n = \left[ \frac{A_{n-1}}{p_n}\right]$ .

Причем при определении цифр $a_i$ по этим формулам все вычисления можно вести в СОК.

Действительно, из формул следует, что $a_1 = {|A|}_{p_1}$ , т.е. $a_1$ - первая СОК цифра, или $a_1 = {\alpha}_1$ . Для получения $a_1$ сперва представим $A - a_1$ в остаточном коде. Очевидно, что $A - a_1$ делится на $p_1$ . Более того, $p_1$ взаимно просто со всеми другими модулями. Следовательно, для нахождения цифры $a_2$ может быть использована процедура деления без остатка:

$a_2 = \left|\frac{A - a_1}{p_1}\right|_{p_2}$ .

Таким путем, с помощью вычитаний и делений в остаточной записи все цифры ОПС могут быть получены. При этом замечено, что

$a_1 = |A|_{p_1}$ , $a_2 = \left|\left[\frac{A}{p_1}\right]\right|_{p_2}$ , $a_3 = \left|\left[\frac{A}{p_1\cdot p_2}\right]\right|_{p_3}$

и, вообще, для $i > 1$

$a_i = \left|\left[\frac{A}{p_1\cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_{i-1}}\right]\right|_{p_i}$ .

Перевод, осуществляемый согласно описанному алгоритму,содержит всего $2 \cdot (n-1)$ остаточных арифметических операций вычитания и деления без остатка, где $n$ – число модулей системы.

Модификация алгоритма перевода числа из СОК в обобщенную позиционную систему

Можно предложить некоторую модификацию алгоритма с заменой операции деления операцией умножения. Для этого предварительно вычисляется $\frac{n\cdot (n-1)}{2}$ констант $\tau_{k,j}$ , которые удовлетворяют условию

$\tau_{k,j}\cdot p_k \equiv 1\pmod p_j, 1 \le k < j \le n$ .

Эти константы можно, например получить из расширенного алгоритма Евклида

$\tau_{k,j}\cdot p_k + \gamma \cdot p_j = HOD (p_k, p_j) = 1$ .

Здесь следует заметить тот факт, что константы полностью определяются выбранной системой оснований, поэтому могут быть вычислены заранее и храниться в некоторой таблице.

Если константы $\tau_{k,j}$ вычислены, то вычисление цифр $a_i$ ОПС по модифицированному алгоритму может быть переписано в виде:

$a_1 \equiv {\alpha}_1 \pmod p_1$ ,

$a_2 \equiv ({\alpha}_2 - {\alpha}_1) \cdot \tau_{1,2} \pmod p_2$ ,

$a_3 \equiv (({\alpha}_3 - {\alpha}_1) \cdot \tau_{1,3} - {\alpha}_2) \tau_{2,3} \pmod p_3$ ,

$\ldots$

$a_n \equiv (\ldots (({\alpha}_n - {\alpha}_1) \cdot \tau_{1,n} - {\alpha}_2) \tau_{2,n} - \ldots {\alpha}_{n-1} \cdot \tau_{n-1,n} \pmod p_n$ .

Константы $\tau_{k,j}$ принято также записывать в виде

$\tau_{k,j} = \left | \frac {1}{p_k} \right | \pmod p_j$

и называть обратными элементами по умножению для чисел $p_k$ по модулю $p_j$ (multiplicative inverse).

Пример

Пусть дана система оснований $p_1 = 2, p_2 = 3, p_3 = 5, p_4 = 7, p_5 = 11$ . Объем диапазона $P = 2310$ . Переведем число $A = (1,1,3,5,4)$ в ОПС.

Найдем сначала константы $\tau_{k,j}$ :

$\tau_{1,2} = \left | \frac{1}{2} \right | \pmod 3 = 2$ , $\tau_{1,3} = \left | \frac{1}{2} \right | \pmod 5 = 3$ ,

$\tau_{1,4} = \left | \frac{1}{2} \right | \pmod 7 = 4$ , $\tau_{1,5} = \left | \frac{1}{2} \right | \pmod 11 = 6$ ,

$\tau_{2,3} = \left | \frac{1}{3} \right | \pmod 5 = 2$ ,

$\tau_{2,4} = \left | \frac{1}{3} \right | \pmod 7 = 5$ , $\tau_{2,5} = \left | \frac{1}{3} \right | \pmod 11 = 4$ ,

$\tau_{3,4} = \left | \frac{1}{5} \right | \pmod 7 = 3$ ,

$\tau_{3,5} = \left | \frac{1}{5} \right | \pmod 11 = 9$ ,

$\tau_{4,5} = \left | \frac{1}{7} \right | \pmod 11 = 8$ .

@@ Строка 60: / Строка 60: @@
 Если константы <math>\tau_{k,j}</math> вычислены, то вычисление цифр <math>a_i</math> ОПС по модифицированному алгоритму может быть переписано в виде:
-<math>a_1 \equiv {\alpha}_1 \pmod p_1</math>,
+:<math>a_1 \equiv {\alpha}_1 \pmod p_1</math>,
-<math>a_2 \equiv ({\alpha}_2 - {\alpha}_1) \cdot \tau_{1,2} \pmod p_2</math>,
+:<math>a_2 \equiv ({\alpha}_2 - {\alpha}_1) \cdot \tau_{1,2} \pmod p_2</math>,
-<math>a_3 \equiv (({\alpha}_3 - {\alpha}_1) \cdot \tau_{1,3} - {\alpha}_2) \tau_{2,3} \pmod p_3</math>,
+:<math>a_3 \equiv (({\alpha}_3 - {\alpha}_1) \cdot \tau_{1,3} - {\alpha}_2) \tau_{2,3} \pmod p_3</math>,
-<math>\ldots</math>
+:<math>\ldots</math>
-<math>a_n \equiv (\ldots (({\alpha}_n - {\alpha}_1) \cdot \tau_{1,n} - {\alpha}_2) \tau_{2,n} - \ldots {\alpha}_{n-1} \cdot \tau_{n-1,n} \pmod p_n</math>.
+:<math>a_n \equiv (\ldots (({\alpha}_n - {\alpha}_1) \cdot \tau_{1,n} - {\alpha}_2) \tau_{2,n} - \ldots {\alpha}_{n-1} \cdot \tau_{n-1,n} \pmod p_n</math>.
-Константы <math>\tau_{k,j}</math> принято также записывать в виде <math>\tau_{k,j} = \left | \frac {1}{p_k} \right | \pmod </math> и называть обратными элементами по умножению для чисел <math>p_k</math> по модулю  (multiplicative inverse).
+Константы <math>\tau_{k,j}</math> принято также записывать в виде
+<math>\tau_{k,j} = \left | \frac {1}{p_k} \right | \pmod p_j </math>
+и называть обратными элементами по умножению для чисел <math>p_k</math> по модулю <math>p_j</math> (multiplicative inverse).

Перевод числа из СОК в обобщенную позиционную систему

Версия 15:49, 15 октября 2014

Персональные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Действия

Поиск

Навигация