Перевод числа из СОК в обобщенную позиционную систему
Isaeva (обсуждение | вклад) |
Isaeva (обсуждение | вклад) |
||
Строка 23: | Строка 23: | ||
:<math>a_2 = A_1 - \left[ \frac{A_1}{p_2}\right] \cdot p_2 = A_1 - A_2\cdot p_2</math>, где <math>A_2 = \left[ \frac{A_1}{p_2}\right]</math>, | :<math>a_2 = A_1 - \left[ \frac{A_1}{p_2}\right] \cdot p_2 = A_1 - A_2\cdot p_2</math>, где <math>A_2 = \left[ \frac{A_1}{p_2}\right]</math>, | ||
− | <math>\ldots</math> | + | :<math>\ldots</math> |
:<math>a_n = A_{n-1} - \left[ \frac{A_{n-1}}{p_n}\right] \cdot p_n = A_{n-1} - A_n\cdot p_n</math>, где <math>A_n = \left[ \frac{A_{n-1}}{p_n}\right]</math>. | :<math>a_n = A_{n-1} - \left[ \frac{A_{n-1}}{p_n}\right] \cdot p_n = A_{n-1} - A_n\cdot p_n</math>, где <math>A_n = \left[ \frac{A_{n-1}}{p_n}\right]</math>. | ||
Строка 45: | Строка 45: | ||
Перевод, осуществляемый согласно описанному алгоритму,содержит всего <math>2 \cdot (n-1)</math> остаточных арифметических операций вычитания и деления без остатка, где <math>n</math> – число модулей системы. | Перевод, осуществляемый согласно описанному алгоритму,содержит всего <math>2 \cdot (n-1)</math> остаточных арифметических операций вычитания и деления без остатка, где <math>n</math> – число модулей системы. | ||
+ | |||
'''Модификация алгоритма перевода числа из СОК в обобщенную позиционную систему''' | '''Модификация алгоритма перевода числа из СОК в обобщенную позиционную систему''' | ||
Строка 64: | Строка 65: | ||
:<math>a_2 \equiv ({\alpha}_2 - a_1) \cdot \tau_{1,2} \pmod {p_2}</math>, | :<math>a_2 \equiv ({\alpha}_2 - a_1) \cdot \tau_{1,2} \pmod {p_2}</math>, | ||
− | :<math>a_3 \equiv (({\alpha}_3 - a_1) \cdot \tau_{1,3} - a_2) \tau_{2,3} \pmod {p_3}</math>, | + | :<math>a_3 \equiv (({\alpha}_3 - a_1) \cdot \tau_{1,3} - a_2) \cdot \tau_{2,3} \pmod {p_3}</math>, |
:<math>\ldots</math> | :<math>\ldots</math> | ||
− | :<math>a_n \equiv (\ldots (({\alpha}_n - a_1) \cdot \tau_{1,n} - a_2) \tau_{2,n} - \ldots a_{n-1} \cdot \tau_{n-1,n} \pmod {p_n}</math>. | + | :<math>a_n \equiv (\ldots (({\alpha}_n - a_1) \cdot \tau_{1,n} - a_2) \cdot \tau_{2,n} - \ldots a_{n-1}) \cdot \tau_{n-1,n} \pmod {p_n}</math>. |
+ | |||
Константы <math>\tau_{k,j}</math> принято также записывать в виде | Константы <math>\tau_{k,j}</math> принято также записывать в виде | ||
Строка 119: | Строка 121: | ||
Преимущество рассмотренного метода перед методом ортогональных базисов состоит в том, что все вычисления выполняются в модулярной арифметике, причем в отдельных каналах, соответствующих модулям <math>p_i</math>, правда, к сожалению, не параллельно. | Преимущество рассмотренного метода перед методом ортогональных базисов состоит в том, что все вычисления выполняются в модулярной арифметике, причем в отдельных каналах, соответствующих модулям <math>p_i</math>, правда, к сожалению, не параллельно. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''Алгоритм перевода числа для специальных систем оснований''' | ||
+ | |||
+ | Один из вариантов уменьшения числа операций в рассмотренном алгоритме может быть достигнут путём особого выбора системы оснований. Выберем систему оснований СОК следующим образом: | ||
+ | |||
+ | :<math>p_1, p_2 = p_1+1, p_3 = p_1 \cdot p_2+1, p_4 = p_1 \cdot p_2 \cdot p_3+1, \ldots, p_n = p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot \ldots \cdot p_{n-1}+1</math> | ||
+ | |||
+ | Очевидно, что основания такой системы взаимно простые числа. Эта система обладает той особенностью, что <math> p_j \equiv 1 \pmod {p_k} (1 \le k < j \le n) </math> | ||
+ | т.е. из сравнений <math> {\tau}_{j,k} \cdot p_j \equiv 1 \pmod {p_k} </math> получаем, что все константы <math> {\tau}_{j,k} = 1 </math>. При таком выборе системы оснований алгоритм можно видоизменить следующим образом: вычисления начинают со старших модулей, тогда, т.к. константы <math> {\tau}_{j,k} = 1 </math>, то в алгоритме отпадает необходимость умножать на <math> {\tau}_{j,k} </math>, т.е. | ||
+ | |||
+ | :<math>a_1 \equiv {\alpha}_1 \pmod {{p_1}'}</math>, | ||
+ | |||
+ | :<math>a_2 \equiv {\alpha}_2 - a_1 \pmod {{p_2}'}</math>, | ||
+ | |||
+ | :<math>a_3 \equiv {\alpha}_3 - a_1 - a_2 \pmod {{p_3}'}</math>, | ||
+ | |||
+ | :<math>\ldots</math> | ||
+ | |||
+ | :<math>a_n \equiv {\alpha}_n - a_1 - a_2 - \ldots a_{n-1} \pmod {{p_n}'}</math>, | ||
+ | |||
+ | |||
+ | :где <math> {{p_1}'} > {{p_2}'} > {{p_3}'} > \ldots > {{p_n}'} </math>. |
Версия 17:15, 5 ноября 2014
Рассмотрим метод определения величины числа связанный с переводом числа из системы остаточных классов в обобщенную позиционную систему (ОПС). Для этого выявим связь между представлением некоторого числа в этих двух системах.
Алгоритм перевода числа из СОК в обобщенную позиционную систему
Пусть СОК задается основаниями и - число в этой системе. И пусть являются также основаниями ОПС, тогда число можно представить в виде
где – коэффициенты (цифры) ОПС.
Очевидно, что диапазоны чисел, представимых в СОК и ОПС совпадают, т.е. можно говорить о наличии взаимно однозначного соответствия между множеством представлений чисел в СОК и ОПС.
Предыдущее равенство можно переписать в следующем виде:
- ,
откуда следует, что цифры ОПС могут быть получены из соотношений:
- , где ,
- , где ,
- , где .
Причем при определении цифр по этим формулам все вычисления можно вести в СОК.
Действительно, из формул следует, что , т.е. - первая СОК цифра, или . Для получения сперва представим в остаточном коде. Очевидно, что делится на . Более того, взаимно просто со всеми другими модулями. Следовательно, для нахождения цифры может быть использована процедура деления без остатка:
- .
Таким путем, с помощью вычитаний и делений в остаточной записи все цифры ОПС могут быть получены. При этом замечено, что
- , ,
и, вообще, для
- .
Перевод, осуществляемый согласно описанному алгоритму,содержит всего остаточных арифметических операций вычитания и деления без остатка, где – число модулей системы.
Модификация алгоритма перевода числа из СОК в обобщенную позиционную систему
Можно предложить некоторую модификацию алгоритма с заменой операции деления операцией умножения. Для этого предварительно вычисляется констант , которые удовлетворяют условию
- .
Эти константы можно, например получить из расширенного алгоритма Евклида
- .
Здесь следует заметить тот факт, что константы полностью определяются выбранной системой оснований, поэтому могут быть вычислены заранее и храниться в некоторой таблице.
Если константы вычислены, то вычисление цифр ОПС по модифицированному алгоритму может быть переписано в виде:
- ,
- ,
- ,
- .
Константы принято также записывать в виде
и называть обратными элементами по умножению для чисел по модулю (multiplicative inverse).
Пример
Пусть дана система оснований . Объем диапазона . Переведем число в ОПС.
Найдем сначала константы :
- , ,
, ,
- ,
, ,
- , ,
- .
Для удобства запишем константы в виде матрицы:
Выполнение алгоритма представлено в следующей таблице.
Перевод числа из СОК в ОПС.
таким образом,
.
Преимущество рассмотренного метода перед методом ортогональных базисов состоит в том, что все вычисления выполняются в модулярной арифметике, причем в отдельных каналах, соответствующих модулям , правда, к сожалению, не параллельно.
Алгоритм перевода числа для специальных систем оснований
Один из вариантов уменьшения числа операций в рассмотренном алгоритме может быть достигнут путём особого выбора системы оснований. Выберем систему оснований СОК следующим образом:
Очевидно, что основания такой системы взаимно простые числа. Эта система обладает той особенностью, что т.е. из сравнений получаем, что все константы . При таком выборе системы оснований алгоритм можно видоизменить следующим образом: вычисления начинают со старших модулей, тогда, т.к. константы , то в алгоритме отпадает необходимость умножать на , т.е.
- ,
- ,
- ,
- ,
- где .