Перевод числа из СОК в обобщенную позиционную систему
Isaeva (обсуждение | вклад) |
Isaeva (обсуждение | вклад) |
||
Строка 112: | Строка 112: | ||
Перевод числа из СОК в ОПС. | Перевод числа из СОК в ОПС. | ||
− | <math> \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline Operation & p_1=2 & p_2=3 & p_3=5 & p_4=7 & p_5=11 & a_i \\ \hline A & 1 & 2 & 1 & 4 & 7 & a_1 = 1 \\ - & & & & & & \\ a_1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \\ \hline A - a_1 & & 1 & 0 & 3 & 6 & \\ \times & & & & & & \\ {\tau}_{1,j} & 0 & 2 & 3 & 4 & 6 & \\ \hline A_1 & & 2 & 0 & 5 & 3 & a_2 = 2 \\ - & & & & & & \\ a_2 & & 2 & 2 & 2 & 2 & \\ \hline A_1 - a_2 & & & 3 & 3 & 1 & \\ \times & & & & & & \\ {\tau}_{2,j} & & 0 & 2 & 5 & 4 & \\ \hline A_2 & & & 1 & 1 & 4 & a_3 = 1 \\ - & & & & & & \\ a_3 & & & 1 & 1 & 1 & \\ \hline A_2 - a_3 & & & & 0 & 3 & \\ \times & & & & & & \\ {\tau}_{3,j} & & & 0 & 3 & 9 & \\ \hline A_3 & & & & 0 & 5 & a_4 = 0 \\ - & & & & & & \\ a_4 & & & & 0 & 0 & \\ \hline A_3 - a_4 & & & & 0 & 5 & \\ \times & & & & & & \\ {\tau}_{4,j} & & & & 0 & 8 & \\ \hline A_4 & & & & & 7 & a_5 = 7 \\ \hline \end{array} </math> | + | <math> \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline Operation & p_1=2 & p_2=3 & p_3=5 & p_4=7 & p_5=11 & a_i |
+ | \\ \hline A & 1 & 2 & 1 & 4 & 7 & a_1 = 1 | ||
+ | \\ - & & & & & & \\ a_1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & | ||
+ | \\ \hline A - a_1 & & 1 & 0 & 3 & 6 & | ||
+ | \\ \times & & & & & & | ||
+ | \\ {\tau}_{1,j} & 0 & 2 & 3 & 4 & 6 & | ||
+ | \\ \hline A_1 & & 2 & 0 & 5 & 3 & a_2 = 2 | ||
+ | \\ - & & & & & & \\ a_2 & & 2 & 2 & 2 & 2 & | ||
+ | \\ \hline A_1 - a_2 & & & 3 & 3 & 1 & | ||
+ | \\ \times & & & & & & | ||
+ | \\ {\tau}_{2,j} & & 0 & 2 & 5 & 4 & | ||
+ | \\ \hline A_2 & & & 1 & 1 & 4 & a_3 = 1 | ||
+ | \\ - & & & & & & \\ a_3 & & & 1 & 1 & 1 & | ||
+ | \\ \hline A_2 - a_3 & & & & 0 & 3 & | ||
+ | \\ \times & & & & & & | ||
+ | \\ {\tau}_{3,j} & & & 0 & 3 & 9 & | ||
+ | \\ \hline A_3 & & & & 0 & 5 & a_4 = 0 | ||
+ | \\ - & & & & & & | ||
+ | \\ a_4 & & & & 0 & 0 & | ||
+ | \\ \hline A_3 - a_4 & & & & 0 & 5 & | ||
+ | \\ \times & & & & & & | ||
+ | \\ {\tau}_{4,j} & & & & 0 & 8 & | ||
+ | \\ \hline A_4 & & & & & 7 & a_5 = 7 | ||
+ | \\ \hline \end{array} </math> | ||
Строка 144: | Строка 167: | ||
:где <math> {{p_1}'} > {{p_2}'} > {{p_3}'} > \ldots > {{p_n}'} </math>. | :где <math> {{p_1}'} > {{p_2}'} > {{p_3}'} > \ldots > {{p_n}'} </math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''Пример''' | ||
+ | |||
+ | Выберем систему оснований по указанному принципу: | ||
+ | |||
+ | :<math>p_1 = 2, p_2 = p_1+1 = 2+1 = 3, p_3 = p_1 \cdot p_2+1 = 2 \cdot 3 + 1 = 7, p_4 = p_1 \cdot p_2 \cdot p_3+1 = 2 \cdot 3 \cdot 7 + 1 = 43</math>. | ||
+ | |||
+ | Объем диапазона <math>P = 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 43 = 1806</math>. | ||
+ | |||
+ | Введем новые обозначения | ||
+ | |||
+ | :<math>{{p_1}'} = p_4 = 43, {{p_2}'} = p_3 = 7, {{p_3}'} = p_2 = 3, {{p_4}'} = p_1 = 2</math>. | ||
+ | |||
+ | Пусть в системе оснований <math>{{p_1}'}, {{p_2}'}, {{p_3}'}, {{p_4}'}</math> задано число <math>A = (27, 0, 1, 1)</math>. Переведём его в ОПС с той же системой оснований. | ||
+ | |||
+ | Метод перевода чисел из СОК в ОПС на основе выбора системы оснований | ||
+ | |||
+ | <math> \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline Operation & {{p_1}'}=43 & {{p_2}'}=7 & {{p_3}'}=3 & {{p_4}'}=2 & a_i | ||
+ | \\ \hline A & 27 & 0 & 1 & 1 & a_1 = 27 | ||
+ | \\ - & & & & & | ||
+ | \\ a_1 & 27 & 6 & 0 & 1 & | ||
+ | \\ \hline A_1 = A - a_1 & - & 1 & 1 & 0 & a_2 = 1 | ||
+ | \\ - & & & & & | ||
+ | \\ a_2 & & 1 & 1 & 1 & | ||
+ | \\ \hline A_2 = A_1 - a_2 & & - & 0 & 1 & a_3 = 0 | ||
+ | \\ - & & & & & | ||
+ | \\ a_3 & & & 0 & 0 & | ||
+ | \\ \hline A_3 = A_2 - a_3 & & & - & 1 & a_4 = 1 | ||
+ | \\ \hline \end{array} </math> |
Версия 11:47, 12 ноября 2014
Рассмотрим метод определения величины числа связанный с переводом числа из системы остаточных классов в обобщенную позиционную систему (ОПС). Для этого выявим связь между представлением некоторого числа в этих двух системах.
Алгоритм перевода числа из СОК в обобщенную позиционную систему
Пусть СОК задается основаниями и - число в этой системе. И пусть являются также основаниями ОПС, тогда число можно представить в виде
где – коэффициенты (цифры) ОПС.
Очевидно, что диапазоны чисел, представимых в СОК и ОПС совпадают, т.е. можно говорить о наличии взаимно однозначного соответствия между множеством представлений чисел в СОК и ОПС.
Предыдущее равенство можно переписать в следующем виде:
- ,
откуда следует, что цифры ОПС могут быть получены из соотношений:
- , где ,
- , где ,
- , где .
Причем при определении цифр по этим формулам все вычисления можно вести в СОК.
Действительно, из формул следует, что , т.е. - первая СОК цифра, или . Для получения сперва представим в остаточном коде. Очевидно, что делится на . Более того, взаимно просто со всеми другими модулями. Следовательно, для нахождения цифры может быть использована процедура деления без остатка:
- .
Таким путем, с помощью вычитаний и делений в остаточной записи все цифры ОПС могут быть получены. При этом замечено, что
- , ,
и, вообще, для
- .
Перевод, осуществляемый согласно описанному алгоритму,содержит всего остаточных арифметических операций вычитания и деления без остатка, где – число модулей системы.
Модификация алгоритма перевода числа из СОК в обобщенную позиционную систему
Можно предложить некоторую модификацию алгоритма с заменой операции деления операцией умножения. Для этого предварительно вычисляется констант , которые удовлетворяют условию
- .
Эти константы можно, например получить из расширенного алгоритма Евклида
- .
Здесь следует заметить тот факт, что константы полностью определяются выбранной системой оснований, поэтому могут быть вычислены заранее и храниться в некоторой таблице.
Если константы вычислены, то вычисление цифр ОПС по модифицированному алгоритму может быть переписано в виде:
- ,
- ,
- ,
- .
Константы принято также записывать в виде
и называть обратными элементами по умножению для чисел по модулю (multiplicative inverse).
Пример
Пусть дана система оснований . Объем диапазона . Переведем число в ОПС.
Найдем сначала константы :
- , ,
, ,
- ,
, ,
- , ,
- .
Для удобства запишем константы в виде матрицы:
Выполнение алгоритма представлено в следующей таблице.
Перевод числа из СОК в ОПС.
таким образом,
.
Преимущество рассмотренного метода перед методом ортогональных базисов состоит в том, что все вычисления выполняются в модулярной арифметике, причем в отдельных каналах, соответствующих модулям , правда, к сожалению, не параллельно.
Алгоритм перевода числа для специальных систем оснований
Один из вариантов уменьшения числа операций в рассмотренном алгоритме может быть достигнут путём особого выбора системы оснований. Выберем систему оснований СОК следующим образом:
Очевидно, что основания такой системы взаимно простые числа. Эта система обладает той особенностью, что т.е. из сравнений получаем, что все константы . При таком выборе системы оснований алгоритм можно видоизменить следующим образом: вычисления начинают со старших модулей, тогда, т.к. константы , то в алгоритме отпадает необходимость умножать на , т.е.
- ,
- ,
- ,
- ,
- где .
Пример
Выберем систему оснований по указанному принципу:
- .
Объем диапазона .
Введем новые обозначения
- .
Пусть в системе оснований задано число . Переведём его в ОПС с той же системой оснований.
Метод перевода чисел из СОК в ОПС на основе выбора системы оснований