Пример коррекции ошибки на базе системы остаточных классов

Материал из Модулярная арифметики
Перейти к: навигация, поиск

Постановка задачи

В данной статье разбирается пример работы алгоритма коррекции ошибки в 16 битной строке. Числовое значение строки представляется в модулярном базисе состоящем из 4-5-битных простых чисел (аналог 4-х битного блока в позиционных кодах). Необходимо отследить и исправить одиночную ошибку, внесённую в один из модулярных каналов.

Любой строке из 16 бит можно поставить в соответствие число из диапазона [0...65536). Далее данное число мы представляем в системе остаточных классов (СОК) по выбранным нами модулям. Затем, внеся одиночную ошибку в любой модуль мы попробуем исправить её. Алгоритм исправления ошибки заключается в следующем: последовательно исключаем из рассмотрения один из модулей, восстанавливаем число по Китайской Теореме об Остатках и смотрим на величину полученного числа.

Теоретические основы алгоритма

Пусть имеется k взаимно простых чисел p_1,p_2,p_3,...,p_k. Назовём их рабочими основаниями. Известно, что в СОК по данным модулям однозначно представляется число из рабочего диапазона [0...p_1*p_2*...*p_k). Далее введём два дополнительных взаимно простых основания p_{k+1},p_{k+2} таких, что все k+2 полученных оснований p_1,p_2,p_3,...,p_k,p_{k+1},p_{k+2} будут взаимно простыми. Пусть наше исходное число A принадлежит диапазону [0...p_1*p_2*...*p_k). Если представить его в СОК по модулям \left \{p_1,p_2,p_3,...,p_k,p_{k+1}\right \}, затем внести ошибку по любому из модулей, а потом попытаться восстановить данное число по Китайской Теореме об Остатках, то известно, что результат \bar A>p_1*p_2*...*p_k. Таким образом, имея два контрольных основания мы можем исправлять одиночную ошибку, последовательно исключая по одному из модулей и получая ситуацию, описанную выше. Если мы исключили основание, по которому произошла ошибка, мы получим правильное число, лежащее в пределах диапазона [0...p_1*p_2*...*p_k).

Пример

Пусть имеется 16ти битовая строка 1000001000110101.Мы ставим ей в соответствие число, затем представляем его в Системе Остаточных Классов, вносим ошибку по одному из оснований и исправляем эту ошибку.

Шаг 1 Для выполнения данной задачи выбираем 4 рабочих основания и 2 контрольных. Рабочие основания:p_1=13, p_2=16, p_3=17, p_4=19. Контрольные основания: p_5=21, p_6=23. При таком выборе рабочих оснований мы можем работать с числами из диапазона от 0 до 13*16*17*19=67183> 65536. Таким образом, этих рабочих оснований хватит для работы с нашей исходной строкой. Выбор таких рабочих обусловлен тем, что полученный динамический диапазон практически совпадает с исходным [0...65536). Изначально строка содержала 16 бит, но после кодирования ( представления строки в СОК и перевода обратно в двоичную системы) мы получим строку длиной 4+4+5+5+5+5=28. Таким образом, избыточность составляет 28-16=12 бит. Представим это число в СОК:

Шаг 2 Процесс кодирования и внесения ошибки: Переведем строку 1000001000110101 в десятичную систему счисления и получим 33.333

Представим это число в СОК по нашим модулям и получим: 33.333=(1, 5, 13, 7, 6, 6). Представим всё это в бинарном виде: 0001 0101 01101 00111 00110  00110. Это и есть наша закодированная строка. Затем внесем ошибку по одному из оснований. Для данного примера я выбрал пятое основание, т.е. 21. В результате ошибки мы получим строку, с которой и будет работать декодер.

Module error correction 1.png

Шаг 3 Теперь рассмотрим процесс декодирования: На данном этапе мы хотим выяснить: произошла ли ошибка по какому-либо основанию и если произошла, то исправить эту ошибку. Рассмотрим строку, полученную в результате кодирования и внесения ошибки: 0001 0101 00011 00111 00101 00110.

Представим число, соответствующее данной строке, в СОК по нашим модулям: \bar A=(1, 5, 13, 7, 5, 6). Теперь отбрасываем последовательно по одному основанию и смотрим результат. Если он меньше 67183, то мы принимаем этот результат за исходное число, а по отброшенному основанию произошла ошибка. Пусть мы откидываем первое основание. Тогда по пяти оставшимся мы восстанавливаем число. Получаем систему сравнений: \left\{  
           \begin{array}{rcl}  
            x\equiv5 mod(16) \\  
            x\equiv13 mod(17) \\
            x\equiv7 mod(19) \\
            x\equiv5 mod(21) \\
            x\equiv6 mod(23) \\
           \end{array}   
           \right.

Согласно Китайской Теореме об Остатках данная система имеет одно единственное решение в диапазоне от 0 до 16*17*19*21*23

Решением данной системы является число x=627653. Видим, что число находится вне нашего диапазона, а следовательно по одному из неотброшенных оснований произошла ошибка, а по отброшенному основанию ошибки нет.

Теперь отбросим основание p_2=16. Проделывая те же действия, что и для первого основания получим, что x=1095680. Опять мы вышли за допустимый диапазон, а следовательно по второму основанию ошибки нет.

Отбрасывая третье основание p_3=17, получим x= 1214981.

Отбрасывая четвертое основание p_4=19, получим x= 1415909

Отбрасывая пятое основание p_5=21, получим x= 33333. Полученное число попадает в динамический диапазон, а следовательно, является нашим верным числом. Таким образом мы нашли и разряд, в котором произошла ошибка, а именно блок, отвечающий за остаток по модулю 21, ведь именно этот блок мы исключили на данном этапе восстановления.


Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация