Просмотр исходного текста страницы Свёртка (цифровая обработка сигналов)

'''Свёртка''' (англ. Convolution) — это базовая операция в задачах цифровой обработки сигналов. В дискретном случае различают два вида сверток: линейную и циклическую.

Пусть имеется два дискретных сигнала <math>a(n), n=0...N-1</math> и <math> b(n), n=0...M-1 </math>. В общем случае <math>N</math> и <math>M</math> отличаются.

== Линейная свёртка ==

Линейной сверткой сигналов <math>a(n)</math> и <math>b(n)</math> называется дискретный сигнал вида:
<math>s(n)=\sum_{m=0}^{n}a(m)b(n-m), n=0...(N+M-2)</math>

Для вычисления линейной свертки сигналы <math>a(n)</math> и <math>b(n)</math> сдвигают относительно друг друга почленно перемножают и складывают. При этом предполагается, что <math>a(n)=0</math> при <math>n<0</math> и <math>n\ge N</math>, и <math>b(n)=0</math> при  <math>n<0</math> и <math>n\ge M</math>.

== Циклическая свёртка ==

В циклической свертке предполагается, что дискретные сигналы <math>a(n)</math> и <math>b(n)</math> – периодические с одинаковым периодом <math>N</math> отсчетов. Тогда циклической сверткой сигналов <math>a(n)</math> и <math>b(n)</math> называется сигнал вида:
<math>s(n)=\sum_{m=0}^{n}a(m)b(n-m),     n=0...N-1 </math>
Результат циклической свертки также имеет длину <math>N</math> отсчетов. 

== Вычисление линейной свертки через циклическую ==

Используя циклическую свертку можно рассчитать линейную свертку двух сигналов. Для этого необходимо каждый из сигналов <math>a(n)</math> и <math>b(n)</math> длительностью <math>M</math> и <math>N</math> отсчетов соответственно дополнить нулями до длины <math>M+N-1</math>. Вычисление линейной свертки через циклическую кажется нерациональным, однако на практике чаще бывает удобно вычислять именно циклическую свертку, благодаря так называемой [http://mathworld.wolfram.com/ConvolutionTheorem.html теореме о свертке]. Cуть теоремы о свертке: спектр циклической свертки есть произведение спектров сворачиваемых сигналов: <math>S(k)=A(k)*B(k)</math>, где <math>A(k)</math> и <math>B(k)</math> - спектры сворачиваемых сигналов, <math>S(k)</math> - спектр циклической свертки двух сигналов. Где спектр есть ни что иное как [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5 Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)], для реализации которого можно использовать [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D1%8B%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5 быстрые алгоритмы БПФ].

== Применение ==
* Линейная свертка используется для расчета FIR-фильтров в цифровой обработке сигналов.
* Циклическую свертку используют для вычисления линейной свертки в том случае, если теорема о свертке дает хороший результат.