Сравнения и их основные свойства

Версия 12:54, 28 августа 2014

Возьмём произвольное фиксированное натуральное число $m$ и будем рассматривать остатки при делении на $m$ различных целых чисел.

При рассмотрении свойств этих остатков и проведении операций над ними удобно ввести понятие сравнения по модулю.

Определения

Определение. Два целых числа $a$ и $b$ называются сравнимыми по модулю $m$ , если их разность $a-b$ делится без остатка на $m$ .

Символически сравнимость записывается в виде формулы (сравнения):

$a \equiv b \pmod{m}$

Число $m$ называется модулем сравнения.

Эквивалентная формулировка:

Определение. Целые числа $a$ и $b$ называются сравнимыми по модулю $m$ , если остатки от деления этих чисел на $m$ равны.

Примеры

Свойства

Для фиксированного натурального числа $m$ отношение сравнимости по модулю $m$ обладает следующими свойствами:

рефлексивности: для любого целого $a$ справедливо $a \equiv a \pmod m$ .
симметричности: если $a \equiv b \pmod m$ , то $b \equiv a \pmod m$ .
транзитивности: если $a \equiv b \pmod m$ и $b \equiv c \pmod m$ , то $a \equiv c \pmod m$ .

Таким образом, отношение сравнимости по модулю $m$ является отношением эквивалентности на множестве целых чисел.

Классы вычетов

Отнесём все целые числа, дающие при делении на $m$ один и тот же остаток в один класс, поэтому получится $m$ различных классов по модулю $m$ .

Множество всех чисел сравнимых с $a$ по модулю $m$ называется классом вычетов $a$ по модулю $m$ .

@@ Строка 4: / Строка 4: @@
 == Определения ==
+Определение. Два целых числа <math> a </math> и <math> b </math> называются '''сравнимыми по модулю <math> m </math>''', если их разность <math> a-b </math> делится без остатка на <math> m </math>.
+Символически сравнимость записывается в виде формулы ('''сравнения'''):
+: <math>a \equiv b \pmod{m}</math>
+Число <math> m </math> называется '''модулем''' сравнения.
+Эквивалентная формулировка:
+Определение. Целые числа <math> a </math> и <math> b </math> называются '''сравнимыми по модулю <math> m </math>''', если остатки от деления этих чисел на <math> m </math> равны.
 == Примеры ==
@@ Строка 16: / Строка 27: @@
 Таким образом, отношение сравнимости по модулю <math> m </math> является отношением эквивалентности на множестве целых чисел.
+== Классы вычетов ==
+Отнесём все целые числа, дающие при делении на <math> m </math>  один и тот же остаток в один класс, поэтому получится <math> m </math> различных классов по модулю <math> m </math>.
+Множество всех чисел сравнимых с <math> a </math> по модулю <math> m </math> называется '''классом вычетов''' <math> a </math> по модулю <math> m </math>.

Сравнения и их основные свойства

Версия 12:54, 28 августа 2014

Содержание

Определения

Примеры

Свойства

Классы вычетов

Персональные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Действия

Поиск

Навигация