Сравнения и их основные свойства

Возьмём произвольное фиксированное натуральное число $m$ и будем рассматривать остатки при делении на $m$ различных целых чисел.

При рассмотрении свойств этих остатков и проведении операций над ними удобно ввести понятие сравнения по модулю.

Свойства

Для фиксированного натурального числа $m$ отношение сравнимости по модулю $m$ обладает следующими свойствами:

• рефлексивности: для любого целого $a$ справедливо $a \equiv a \pmod m$.
• симметричности: если $a \equiv b \pmod m$, то $b \equiv a \pmod m$.
• транзитивности: если $a \equiv b \pmod m$ и $b \equiv c \pmod m$, то $a \equiv c \pmod m$.

Таким образом, отношение сравнимости по модулю $m$ является отношением эквивалентности на множестве целых чисел.