Теорема о делении с остатком. Алгоритм Евклида

Версия 15:58, 10 декабря 2014

Пример

Пусть модуль $p = 6$ .

Тогда имеем шесть классов разбиения множества целых чисел по модулю 6:

$K_0 = \left\{\ldots,-18,-12,-6,0,6,12,18,\ldots \right\}, r=0$ ;

$K_1 = \left\{\ldots,-17,-11,-5,1,7,13,19,\ldots \right\}, r=1$ ;

$K_2 = \left\{\ldots,-16,-10,-4,2,8,14,20,\ldots \right\}, r=2$ ;

$K_3 = \left\{\ldots,-15,-9,-3,3,9,15,21,\ldots \right\}, r=3$ ;

$K_4 = \left\{\ldots,-14,-8,-2,4,10,16,22,\ldots \right\}, r=4$ ;

$K_5 = \left\{\ldots,-13,-7,-1,5,11,17,23,\ldots \right\}, r=5$ ,

где через $r$ обозначен остаток от деления целого числа на 6.

Напомним теорему о делении с остатком:

Теорема о делении с остатком

Для любых целых $a$ и $b$ , $b \not= 0$ , существует единственный набор целых чисел $q$ и $r$ , что $a = bq + r$ и $0 \le r < |b|$ , где $|b|$ — модуль числа $b$ .

Легко доказывается, что для любых целых чисел $a$ и $b$ , $b \not= 0$ деление с остатком возможно и числа $q$ и $r$ определяются однозначно. В нашем примере полная система наименьших неотрицательных вычетов есть множество $\left\{0, 1, 2, 3, 4, 5 \right\}$ ; полная система наименьших положительных вычетов – множество $\left\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 \right\}$ ; полная система наименьших по абсолютной величине вычетов – множество $\left\{-2,-1, 0, 1, 2, 3 \right\}$ ; приведённая система вычетов – множество $\left\{1,5 \right\}$ , так как $\phi(6) = 6\,\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right) = 2$ ; фактор-множество $Z{|{\equiv}_6} = \left\{K_0, K_1, K_2, K_3, K_4, K_5 \right\}$ .

Один из методов выполнения арифметических операций над данными целыми числами основан на простых положениях теории чисел. Идея этого метода состоит в том, что целые числа представляются в одной из непозиционных систем – в системе остаточных классов. А именно: вместо операций над целыми числами оперируют с остатками от деления этих чисел на заранее выбранные числа – модули $p_1, p_2, \ldots, p_n$ . Чаще всего модули $p_1, p_2, \ldots, p_n$ выбирают из множества простых чисел.

Пусть

$A \equiv {\alpha}_1 \pmod{p_1}$ ,

$A \equiv {\alpha}_2 \pmod{p_2}$ ,

$\ldots$ ,

$A \equiv {\alpha}_n \pmod{p_n}$ .

Так как в кольце целых чисел имеет место теорема о делении с остатком, т. е. $\forall a \in Z, \forall b \in Z, b\not= 0 \, \exist q \in Z, \exist r \in Z (0 \le r <b):\, a=bq+r$ , то кольцо Z, по определению, является евклидовым. Таким образом, в качестве чисел ${\alpha}_i, i=0,\ldots,n$ можно выбрать остатки от деления числа $A$ на $p_i$ соответственно.

Рассмотрим гомоморфное отображение:

$Z \to Z{|{\equiv}_{p_1}} \times Z{|{\equiv}_{p_2}} \times \ldots \times Z{|{\equiv}_{p_n}}$ .

Тогда каждому целому числу А можно поставить в соответствие кортеж $\left\{{\alpha}_1, {\alpha}_2, \ldots, {\alpha}_n \right\}$ наименьших неотрицательных вычетов по одному из соответствующих классов.

Важно отметить, что при преобразовании числа нет потери информации, если выполнено условие $A < p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_n$ , поскольку всегда, зная $\left({\alpha}_1, {\alpha}_2, \ldots, {\alpha}_n \right)$ можно восстановить само число $A$ . Поэтому кортеж можно рассматривать как один из способов представления целого числа $A$ – модулярное представление, или представление в системе остаточных классов (СОК).

Для дальнейшего используем расширенный алгоритм Евклида или его аналог – алгоритм нахождения линейного представления наибольшего общего делителя целых чисел: если числа а и b одновременно не равны нулю, то существуют целые числа $x$ и $y$ , такие, что $a \cdot b = a \cdot x + b \cdot y$ .

Действительно, пусть $d$ – наименьшее целое положительное число вида $a \cdot x + b \cdot y$ , например, $d = a \cdot x_0 + b \cdot y_0$ , где числа $x_0$ и $y_0$ не обязательно определены однозначно. Существование числа $d$ следует только из принципа полной упорядоченности. Очевидно, что $d > 0$ . Остаётся показать, что $d = (a,b)$ . Для этого надо проверить выполнение двух условий: а) $d|a$ и $d|b$ б) если $c|a$ и $c|b$ то $c|d$ .

От противного: допустим, что свойство а) не выполняется, для определенности положим, что не выполнено $d|b$ . Тогда по теореме о делении с остатком $a = dq + r$ , $0 \le r < |d|$ , и, следовательно,

$r=b-dq = b-(ax_0+by_0)q = a(-qx_0)+b(1-qy_0)$ ,

что противоречит минимальности $d$ .

Выполнение свойства б) проверяется непосредственно:

$c|a \Rightarrow \left(\exist q_1 \in Z\right)\left(a = q_1\, c\right)$ ;

$c|b \Rightarrow \left(\exist q_2 \in Z\right)\left(a = q_2\, c\right)$ ;

$d=ax_0 + by_0 \Rightarrow d = q_1 c x_0 + q_2 c y_0 \Rightarrow d = \left(q_1 x_0 + q_2 y_0\right) c|d$ .

@@ Строка 25: / Строка 25: @@
 Для любых целых <math>a</math> и <math>b</math>, <math>b \not= 0</math>, существует единственный набор целых чисел <math>q</math> и <math>r</math>, что <math>a = bq + r</math> и <math>0 \le r < |b|</math>, где <math>|b|</math> — модуль числа <math>b</math>.
-Легко доказывается, что для любых целых чисел <math>a</math> и <math>b</math>, <math>b \not= 0</math> деление с остатком возможно и числа <math>q</math> и <math>r</math> определяются однозначно. В нашем примере полная система наименьших неотрицательных вычетов есть множество <math>\left\{0, 1, 2, 3, 4, 5 \right\}</math>; полная система наименьших положительных вычетов – множество <math>\left\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 \right\}</math>; полная система наименьших по абсолютной величине вычетов – множество <math>\left\{-2,-1, 0, 1, 2, 3 \right\}</math>; приведённая система вычетов – множество <math>\left\{1,5 \right\}</math>, так как <math>\phi(6) = 6\,\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right) = 2</math> ; фактор-множество <math>Z/{\equiv}_6 = \left\{K_0, K_1, K_2, K_3, K_4, K_5 \right\}</math>.
+Легко доказывается, что для любых целых чисел <math>a</math> и <math>b</math>, <math>b \not= 0</math> деление с остатком возможно и числа <math>q</math> и <math>r</math> определяются однозначно. В нашем примере полная система наименьших неотрицательных вычетов есть множество <math>\left\{0, 1, 2, 3, 4, 5 \right\}</math>; полная система наименьших положительных вычетов – множество <math>\left\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 \right\}</math>; полная система наименьших по абсолютной величине вычетов – множество <math>\left\{-2,-1, 0, 1, 2, 3 \right\}</math>; приведённая система вычетов – множество <math>\left\{1,5 \right\}</math>, так как <math>\phi(6) = 6\,\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right) = 2</math> ; фактор-множество <math>Z{|{\equiv}_6} = \left\{K_0, K_1, K_2, K_3, K_4, K_5 \right\}</math>.
 Один из методов выполнения арифметических операций над данными целыми числами основан на простых положениях теории чисел. Идея этого метода состоит в том, что целые числа представляются в одной из непозиционных систем – в системе остаточных классов. А именно: вместо операций над целыми числами оперируют с остатками от деления этих чисел на заранее выбранные числа – модули <math>p_1, p_2, \ldots, p_n</math>.
 Чаще всего модули <math>p_1, p_2, \ldots, p_n</math> выбирают из множества простых чисел.
+Пусть
+: <math>A \equiv {\alpha}_1 \pmod{p_1}</math>,
+: <math>A \equiv {\alpha}_2 \pmod{p_2}</math>,
+: <math>\ldots</math>,
+: <math>A \equiv {\alpha}_n \pmod{p_n}</math>.
+Так как в кольце целых чисел имеет место теорема о делении с остатком, т. е. <math>\forall a \in Z, \forall b \in Z, b\not= 0 \, \exist q \in Z, \exist r \in Z (0 \le r <b):\, a=bq+r </math>, то кольцо Z, по определению, является евклидовым. Таким образом, в качестве чисел <math> {\alpha}_i, i=0,\ldots,n </math> можно выбрать остатки от деления числа <math>A</math> на <math>p_i</math> соответственно.
+Рассмотрим гомоморфное отображение:
+:<math>Z \to Z{|{\equiv}_{p_1}} \times Z{|{\equiv}_{p_2}} \times \ldots \times Z{|{\equiv}_{p_n}} </math> .
+Тогда каждому целому числу А можно поставить в соответствие кортеж <math>\left\{{\alpha}_1, {\alpha}_2, \ldots, {\alpha}_n \right\}</math> наименьших неотрицательных вычетов по одному из соответствующих классов.
+Важно отметить, что при преобразовании числа нет потери информации, если выполнено условие <math>A < p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_n</math>, поскольку всегда, зная <math>\left({\alpha}_1, {\alpha}_2, \ldots, {\alpha}_n \right)</math> можно восстановить само число <math>A</math>. Поэтому кортеж  можно рассматривать как один из способов представления целого числа <math>A</math> – модулярное представление, или представление в системе остаточных классов (СОК).
+Для дальнейшего используем расширенный алгоритм Евклида или его аналог – алгоритм нахождения линейного представления наибольшего общего делителя целых чисел: если числа а и b одновременно не равны нулю, то существуют целые числа <math>x</math> и <math>y</math>, такие, что <math>a \cdot b = a \cdot x + b \cdot y</math>.
+Действительно, пусть <math>d</math> – наименьшее целое положительное число вида <math>a \cdot x + b \cdot y</math>, например, <math>d = a \cdot x_0 + b \cdot y_0</math>, где числа <math>x_0</math> и <math>y_0</math> не обязательно определены однозначно. Существование числа <math>d</math> следует только из принципа полной упорядоченности. Очевидно, что <math>d > 0</math>. Остаётся показать, что <math>d = (a,b)</math>. Для этого надо проверить выполнение двух условий: а) <math>d|a</math> и <math>d|b</math> б) если <math>c|a</math> и <math>c|b</math>
+то <math>c|d</math>.
+От противного: допустим, что свойство а) не выполняется, для определенности положим, что не выполнено <math>d|b</math>. Тогда по теореме о делении с остатком <math>a = dq + r</math>, <math>0 \le r < |d|</math>, и, следовательно,
+:<math>r=b-dq = b-(ax_0+by_0)q = a(-qx_0)+b(1-qy_0)</math>,
+что противоречит минимальности <math>d</math>.
+Выполнение свойства б) проверяется непосредственно:
+:<math>c|a \Rightarrow \left(\exist q_1 \in Z\right)\left(a = q_1\, c\right)</math>;
+:<math>c|b \Rightarrow \left(\exist q_2 \in Z\right)\left(a = q_2\, c\right)</math>;
+:<math>d=ax_0 + by_0 \Rightarrow d = q_1 c x_0 + q_2 c y_0 \Rightarrow d = \left(q_1 x_0 + q_2 y_0\right) c|d </math>.

Теорема о делении с остатком. Алгоритм Евклида

Версия 15:58, 10 декабря 2014

Персональные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Действия

Поиск

Навигация