Система остаточных классов используется для представления больших чисел N, обеспечивая таким образом более эффективные вычисления. В основе данного представления лежит изоморфизм <math>\mathbb{Z}/m_1\cdot\ldots\cdot m_n\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}/m_1\times\ldots\times\mathbb{Z}/m_n</math> , который доставляет китайская теорема об остатках.

== Основные определения ==
Системой остаточных классов называют произвольное конечное множество <math>\{m_1,\ldots ,m_n\}\subset\mathbb{N}</math>, такое что <math>\gcd\limits_{i\ne j}(m_i,m_j)=1</math>, где <math>n\in\mathbb{N}</math>. Пусть задана произвольная система остаточных классов <math>\{m_1,\ldots ,m_n\}</math> и положим, что <math>M=\prod\limits_{i=1}^{n}m_i</math>. Тогда имеем эпиморфизм колец <math>\varphi: \mathbb{Z}\to\prod\limits_{i=1}^{n}\mathbb{Z}/m_i\mathbb{Z}</math>, т.ч. <math>\operatorname{Ker}\varphi=M\mathbb{Z}</math>, который индуцирует канонический изоморфизм <math>\mathbb{Z}/M\mathbb{Z}\to\prod\limits_{i=1}^{n}\mathbb{Z}/m_i\mathbb{Z}</math>.

== Выполнение арифметических операций ==
С использованием системы остаточных классов можно выполнять основные арифметические операции.

=== Сложение и вычитание ===
Пусть <math>A,B</math>- произвольные натуральные числа. Положим, что <math>A,B</math> представляются в виде системы остаточных классов как <math>(a_1,\ldots ,a_n)</math> и <math>(b_1,\ldots b_n)</math> соответственно. Формально, <math>\varphi^{-1}(a_1,\ldots ,a_n)=A, \varphi^{-1}(b_1,\ldots b_n)=B</math>. В силу того, что <math>\varphi</math>- изоморфизм, то <math>\varphi^{-1}((a_1,\ldots ,a_n)+(b_1,\ldots b_n))=\varphi^{-1}(a_1,\ldots ,a_n)+\varphi^{-1}(b_1,\ldots b_n)</math>. Обозначим через <math>C</math> остаток <math>A+B</math> от деления на <math>M</math>. Тогда <math>C</math> представляется в виде системы остаточных классов как <math>(a_1+b_1,\ldots ,a_n+b_n)</math>.

=== Умножение ===
$D$- остаток от деления <math>A\cdot B</math> на <math>M</math>. Тогда <math>D</math> представляется в виде системы остаточных классов в виде <math>(a_1b_1,\ldots ,a_nb_n)</math>.

=== Деление ===
Деление <math>A</math> на <math>B</math> с использованием системы остаточных классов можно выполнять не всегда. Положим, что <math>E</math>- остаток <math>AB^{-1}</math> от деления на <math>M</math>. На языке теории колец это означает, что <math>b_i,1\le i\le n</math> обратим и <math>b_i^{-1}</math>- обратный. Тогда <math>AB^{-1}</math> представляется в виде <math>(a_1b_1^{-1},\ldots ,a_nb_n^{-1})</math>.

Система остаточных классов

2013-01-25T05:21:05Z

Bundin: Новая страница: «Система остаточных классов используется для представления больших чисел N, обеспечивая …»