Просмотр исходного текста страницы Свёртка (цифровая обработка сигналов)

'''Свёртка''' (англ. Convolution) — это базовая операция в задачах цифровой обработки сигналов. В дискретном случае различают два вида сверток: линейную и циклическую.

Пусть имеется два дискретных сигнала <math>a(n), n=0…N-1</math> и <math> b(n), n=0…M-1</math>. В общем случае N и M отличаются.

== Линейная свёртка ==

Линейной сверткой сигналов <math>a(n)</math> и <math>b(n)</math> называется дискретный сигнал вида:
s(n)=a*b=∑_(m=0)^n▒〖a(m)∙b(n-m)〗,     n=0…N+M-2

Для вычисления линейной свертки сигналы a(n)и b(n)сдвигают относительно друг друга почленно перемножают и складывают. При этом предполагается, что a(n)=0 при n<0 и n>N, и b(n)=0 при  n<0 и n>M.

== Циклическая свёртка ==

В циклической свертке предполагается, что дискретные сигналы a(n) и b(n) – периодические с одинаковым периодом N отсчетов. Тогда циклической сверткой сигналов a(n) и b(n) называется сигнал вида:
s(n)=∑_(m=0)^(N-1)▒〖a(m)∙b(n-m)〗,     n=0…N-1 
Результат циклической свертки также имеет длину N отсчетов. 

== Вычисление линейной свертки через циклическую ==

Используя циклическую свертку можно рассчитать линейную свертку двух сигналов. Для этого необходимо каждый из сигналов a(n)и b(n) длительностью M и N отсчетов соответственно дополнить нулями до длины M+N-1. Вычисление линейной свертки через циклическую кажется нерациональным, однако на практике чаще бывает удобно вычислять именно циклическую свертку, благодаря так называемой [http://mathworld.wolfram.com/ConvolutionTheorem.html теореме о свертке]. Cуть теоремы о свертке: спектр циклической свертки есть произведение спектров сворачиваемых сигналов: S(k)=A(k)*B(k), где A(k) и B(k) - спектры сворачиваемых сигналов, S(k) - спектр циклической свертки двух сигналов. Где спектр есть ни что иное как [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5 Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)], для реализации которого можно использовать [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D1%8B%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5 быстрые алгоритмы БПФ]

== Применение ==
* Линейная свертка используется для расчета FIR-фильтров в цифровой обработке сигналов.
* Циклическую свертку используют для вычисления линейной свертки в том случае, если теорема о свертке дает хороший результат.