Просмотр исходного текста страницы Вычет по комплексному модулю

По аналогии с вычетом целого числа по целому числу, можно определить вычет для комплексных переменных.

== Вычет целого числа по целому модулю ==

Пусть заданы два целых положительных числа <math>{x}</math> и <math>{p}</math>.
Справедливо равенство: <math>x = \lfloor\frac{x}{p}\rfloor\cdot{p} + |x|_p</math>. 

<math>\lfloor\frac{x}{p}\rfloor</math> - наибольшее целое число от деления <math>{x}</math> на <math>{p}</math>.

<math>|x|_p</math> - в данном равенстве и есть вычет.

== Вычет комплексного числа по комплексному модулю ==

Пусть <math>w</math> – фиксированное целое комплексное число <math>w=a+bj\in{CZ}</math> с нормой <math>p=a^2+b^2</math>. Пусть <math>z=x+yj</math> – произвольное целое комплексное число.

Проведем следующие преобразования:
<math>z = \frac{z\cdot{p}}{p} = \frac{z\cdot{w}\cdot{\overline{w}}}{p} = \frac{z\cdot{\overline{w}}}{p}\cdot {w} = \frac{\lfloor\frac{z\cdot{\overline{w}}}{p}\rfloor\cdot{p} + |{z}\cdot{\overline{w}}|_p}{p}\cdot{w} = \lfloor\frac{z\cdot{\overline{w}}}{p}\rfloor + \frac{|{z}\cdot{\overline{w}}|_p\cdot{w}}{p}</math>

Назовем второй член получившегося выражения вычетом комплексного числа по комплексному переменному и обозначим:

<math>\langle{z}|_w = \frac{|{z}\cdot{\overline{w}}|_p\cdot{w}}{p}</math>

Для преобразований используются следующий свойства:
* <math>\overline{w} = a-bj</math> - сопряженное к <math>{w}</math> комплексное число.
* <math>p = {w}\cdot{\overline{w}}</math>