Теорема о делении с остатком. Алгоритм Евклида — различия между версиями

Материал из Модулярная арифметики
Перейти к: навигация, поиск
Строка 5: Строка 5:
 
Тогда имеем шесть классов разбиения множества целых чисел по модулю 6:
 
Тогда имеем шесть классов разбиения множества целых чисел по модулю 6:
  
−
:<math>K_0 = {\ldots,-18,-12,-6,0,6,12,18,\ldots}, r=0</math>;
+
:<math>K_0 = \left\{\ldots,-18,-12,-6,0,6,12,18,\ldots \right\}, r=0</math>;
  
−
:<math>K_1 = {\ldots,-17,-11,-5,1,7,13,19,\ldots}, r=1</math>;
+
:<math>K_1 = \left\{\ldots,-17,-11,-5,1,7,13,19,\ldots \right\}, r=1</math>;
  
−
:<math>K_2 = {\ldots,-16,-10,-4,2,8,14,20,\ldots}, r=2</math>;
+
:<math>K_2 = \left\{\ldots,-16,-10,-4,2,8,14,20,\ldots \right\}, r=2</math>;
  
−
:<math>K_3 = {\ldots,-15,-9,-3,3,9,15,21,\ldots}, r=3</math>;
+
:<math>K_3 = \left\{\ldots,-15,-9,-3,3,9,15,21,\ldots \right\}, r=3</math>;
  
−
:<math>K_4 = {\ldots,-14,-8,-2,4,10,16,22,\ldots}, r=4</math>;
+
:<math>K_4 = \left\{\ldots,-14,-8,-2,4,10,16,22,\ldots \right\}, r=4</math>;
  
−
:<math>K_5 = {\ldots,-13,-7,-1,5,11,17,23,\ldots}, r=5</math>,
+
:<math>K_5 = \left\{\ldots,-13,-7,-1,5,11,17,23,\ldots \right\}, r=5</math>,
  
 
где через <math>r</math> обозначен остаток от деления целого числа на 6.
 
где через <math>r</math> обозначен остаток от деления целого числа на 6.
 +
 +
Напомним теорему о делении с остатком:
 +
 +
'''Теорема о делении с остатком'''
 +
 +
Для любых целых <math>a</math> и <math>b</math>, <math>b \not= 0</math>, существует единственный набор целых чисел <math>q</math> и <math>r</math>, что <math>a = bq + r</math> и <math>0 \le r < |b|</math>, где <math>|b|</math> — модуль числа <math>b</math>.
 +
 +
Легко доказывается, что для любых целых чисел <math>a</math> и <math>b</math>, <math>b \not= 0</math> деление с остатком возможно и числа <math>q</math> и <math>r</math> определяются однозначно. В нашем примере полная система наименьших неотрицательных вычетов есть множество <math>\left\{0, 1, 2, 3, 4, 5 \right\}</math>; полная система наименьших положительных вычетов – множество <math>\left\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 \right\}</math>; полная система наименьших по абсолютной величине вычетов – множество <math>\left\{-2,-1, 0, 1, 2, 3 \right\}</math>; приведённая система вычетов – множество <math>\left\{1,5 \right\}</math>, так как <math>\phi(6) = 6\,\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right) = 2</math> ; фактор-множество <math>Z/{\equiv}_6 = \left\{K_0, K_1, K_2, K_3, K_4, K_5 \right\}</math>.

Версия 10:07, 10 декабря 2014

Пример

Пусть модуль p = 6.

Тогда имеем шесть классов разбиения множества целых чисел по модулю 6:

K_0 = \left\{\ldots,-18,-12,-6,0,6,12,18,\ldots \right\}, r=0;
K_1 = \left\{\ldots,-17,-11,-5,1,7,13,19,\ldots \right\}, r=1;
K_2 = \left\{\ldots,-16,-10,-4,2,8,14,20,\ldots \right\}, r=2;
K_3 = \left\{\ldots,-15,-9,-3,3,9,15,21,\ldots \right\}, r=3;
K_4 = \left\{\ldots,-14,-8,-2,4,10,16,22,\ldots \right\}, r=4;
K_5 = \left\{\ldots,-13,-7,-1,5,11,17,23,\ldots \right\}, r=5,

где через r обозначен остаток от деления целого числа на 6.

Напомним теорему о делении с остатком:

Теорема о делении с остатком

Для любых целых a и b, b \not= 0, существует единственный набор целых чисел q и r, что a = bq + r и 0 \le r < |b|, где |b| — модуль числа b.

Легко доказывается, что для любых целых чисел a и b, b \not= 0 деление с остатком возможно и числа q и r определяются однозначно. В нашем примере полная система наименьших неотрицательных вычетов есть множество \left\{0, 1, 2, 3, 4, 5 \right\}; полная система наименьших положительных вычетов – множество \left\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 \right\}; полная система наименьших по абсолютной величине вычетов – множество \left\{-2,-1, 0, 1, 2, 3 \right\}; приведённая система вычетов – множество \left\{1,5 \right\}, так как \phi(6) = 6\,\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right) = 2 ; фактор-множество Z/{\equiv}_6 = \left\{K_0, K_1, K_2, K_3, K_4, K_5 \right\}.

Источник — «https://vscripts.ru/w/index.php?title=Теорема_о_делении_с_остатком._Алгоритм_Евклида&oldid=1042»