Вычет по комплексному модулю — различия между версиями

Материал из Модулярная арифметики
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «По аналогии с вычетом целого числа по целому числу, можно определить вычет для комплексн…»)
 
 
(не показано 6 промежуточных версии 2 участников)
Строка 1: Строка 1:
 
По аналогии с вычетом целого числа по целому числу, можно определить вычет для комплексных переменных.
 
По аналогии с вычетом целого числа по целому числу, можно определить вычет для комплексных переменных.
 +
 +
== Вычет целого числа по целому модулю ==
 +
 +
Пусть заданы два целых положительных числа <math>{x}</math> и <math>{p}</math>.
 +
Справедливо равенство: <math>x = \lfloor\frac{x}{p}\rfloor\cdot{p} + |x|_p</math>.
 +
 +
<math>\lfloor\frac{x}{p}\rfloor</math> - наибольшее целое число от деления <math>{x}</math> на <math>{p}</math>.
 +
 +
<math>|x|_p</math> - в данном равенстве и есть вычет.
 +
 +
== Вычет комплексного числа по комплексному модулю ==
 +
 +
Пусть <math>w</math> – фиксированное целое комплексное число <math>w=a+bj\in{CZ}</math> с нормой <math>p=a^2+b^2</math>. Пусть <math>z=x+yj</math> – произвольное целое комплексное число.
 +
 +
Проведем следующие преобразования:
 +
<math>z = \frac{z\cdot{p}}{p} = \frac{z\cdot{w}\cdot{\overline{w}}}{p} = \frac{z\cdot{\overline{w}}}{p}\cdot {w} = \frac{\lfloor\frac{z\cdot{\overline{w}}}{p}\rfloor\cdot{p} + |{z}\cdot{\overline{w}}|_p}{p}\cdot{w} = \lfloor\frac{z\cdot{\overline{w}}}{p}\rfloor + \frac{|{z}\cdot{\overline{w}}|_p\cdot{w}}{p}</math>
 +
 +
Назовем второй член получившегося выражения вычетом комплексного числа по комплексному переменному и обозначим:
 +
 +
<math>\langle{z}|_w = \frac{|{z}\cdot{\overline{w}}|_p\cdot{w}}{p}</math>
 +
 +
Для преобразований используются следующий свойства:
 +
* <math>\overline{w} = a-bj</math> - сопряженное к <math>{w}</math> комплексное число.
 +
* <math>p = {w}\cdot{\overline{w}}</math>

Текущая версия на 09:09, 10 апреля 2013

По аналогии с вычетом целого числа по целому числу, можно определить вычет для комплексных переменных.

Вычет целого числа по целому модулю

Пусть заданы два целых положительных числа {x} и {p}. Справедливо равенство: x = \lfloor\frac{x}{p}\rfloor\cdot{p} + |x|_p.

\lfloor\frac{x}{p}\rfloor - наибольшее целое число от деления {x} на {p}.

|x|_p - в данном равенстве и есть вычет.

Вычет комплексного числа по комплексному модулю

Пусть w – фиксированное целое комплексное число w=a+bj\in{CZ} с нормой p=a^2+b^2. Пусть z=x+yj – произвольное целое комплексное число.

Проведем следующие преобразования: z = \frac{z\cdot{p}}{p} = \frac{z\cdot{w}\cdot{\overline{w}}}{p} = \frac{z\cdot{\overline{w}}}{p}\cdot {w} = \frac{\lfloor\frac{z\cdot{\overline{w}}}{p}\rfloor\cdot{p} + |{z}\cdot{\overline{w}}|_p}{p}\cdot{w} = \lfloor\frac{z\cdot{\overline{w}}}{p}\rfloor + \frac{|{z}\cdot{\overline{w}}|_p\cdot{w}}{p}

Назовем второй член получившегося выражения вычетом комплексного числа по комплексному переменному и обозначим:

\langle{z}|_w = \frac{|{z}\cdot{\overline{w}}|_p\cdot{w}}{p}

Для преобразований используются следующий свойства:

  • \overline{w} = a-bj - сопряженное к {w} комплексное число.
  • p = {w}\cdot{\overline{w}}
Источник — «https://vscripts.ru/w/index.php?title=Вычет_по_комплексному_модулю&oldid=298»