Система остаточных классов — различия между версиями

Материал из Модулярная арифметики
Перейти к: навигация, поиск
Строка 19: Строка 19:
 
* Возможность представления только ограниченного количества чисел.
 
* Возможность представления только ограниченного количества чисел.
 
* Отсутствие эффективных алгоритмов для сравнения чисел, представленных в СОК. Сравнение обычно осуществляется через перевод аргументов из СОК в смешанную систему счисления по основаниям <math>(m_1, m_1\cdot m_2, \dots, m_1\cdot m_2\cdot\dots\cdot m_{n-1})</math>.
 
* Отсутствие эффективных алгоритмов для сравнения чисел, представленных в СОК. Сравнение обычно осуществляется через перевод аргументов из СОК в смешанную систему счисления по основаниям <math>(m_1, m_1\cdot m_2, \dots, m_1\cdot m_2\cdot\dots\cdot m_{n-1})</math>.
−
* Сложные реализации алгоритмов перевода из позиционной системы счисления в СОК и обратно.
+
* Медленные и требующие работы с большими числами реализации алгоритмов перевода из позиционной системы счисления в СОК и обратно.
 +
* Сложные алгоритмы деления (для случая, когда результат не является целым)
 +
* Трудность в обнаружении переполнения
  
 
== Применение системы остаточных классов ==
 
== Применение системы остаточных классов ==
Строка 25: Строка 27:
 
* контроль за ошибками, за счет введения дополнительных избыточных модулей
 
* контроль за ошибками, за счет введения дополнительных избыточных модулей
 
* высокая скорость работы, которую обеспечивает параллельная реализация базовых арифметических операций
 
* высокая скорость работы, которую обеспечивает параллельная реализация базовых арифметических операций
 +
 +
== Специальные системы модулей ==
 +
В модулярной арифметике существуют специальные наборы модулей, которые позволяют частично нивелировать недостатки и для которых существуют эффективные алгоритмы сравнения чисел и для прямого и обратного перевода модулярных чисел в позиционную систему счисления. Одной из самых популярных систем модулей является набор из трех взаимнопростых чисел вида '''{2<sup>n</sup>-1, 2<sup>n</sup>, 2<sup>n</sup>+1}'''
  
 
== Основные определения ==
 
== Основные определения ==
Строка 84: Строка 89:
 
Замечание: если бы мы умножали или складывали числа, которые дали в результате умножения число больше или равное <math>M = 30</math>, то полученный результат <math>RES \equiv REAL \pmod{M}</math>, где <math>REAL</math> - результат операции в позиционной системе счисления.
 
Замечание: если бы мы умножали или складывали числа, которые дали в результате умножения число больше или равное <math>M = 30</math>, то полученный результат <math>RES \equiv REAL \pmod{M}</math>, где <math>REAL</math> - результат операции в позиционной системе счисления.
  
−
== Литература ==
+
=== Пример деления, при условии, что оно делится нацело ===
−
# {{книга
+
Деление может быть выполнено аналогично умножению, но только если делитель делит делимое нацело, без остатка.
−
|автор        = С. Ленг
+
<br />
−
|часть        =
+
Для модулей <math>(29;31;32)</math> разделим число 1872 на 9.<br />
−
|заглавие      = Алгебра
+
Делим <math>1872=(16;12;16)</math> на <math>9=(9;9;9)</math>.<br />
−
|оригинал      =  
+
 
−
|ссылка        =  
+
Воспользуемся формулой<br />
−
|издание      =
+
<math>z_i \equiv (x_i * y_i^{-1}) \pmod{m_i};</math>
−
|ответственный =
+
<br /><br />
−
|место        =  
+
Здесь надо сказать, что <math>y_i^{-1}*y_i=1 \pmod{m_i}</math>, что не то же самое, что просто разделить x на y.<br />
−
|издательство  = [[МИР]]
+
По формуле <math>y_i^{m_i-1}=1 \pmod{m_i}</math> получаем<br />
−
|год          = 1968
+
<math>9^{29-2} \pmod{29} = 13</math><br />
−
|том          =
+
<math>9^{31-2} \pmod{31} = 7</math><br />
−
|страницы      =
+
<math>9^{32-2} \pmod{32} = 17</math><br />
−
|страниц      = 564
+
 
−
|isbn          =  
+
 
−
|ref          = Ленг
+
<math>z_1 \equiv (16*13) \pmod{29} = 5</math><br />
−
}}
+
<math>z_2 \equiv (12*7) \pmod{31} = 22</math><br />
 +
<math>z_3 \equiv (16*17) \pmod{32} = 16</math><br />
 +
<br />
 +
Это и есть правильный результат - число 208. Однако такой результат можно получить только если известно, что деление производится без остатка.
 +
 
 +
== Ссылки ==
 +
* Книга "Residue Number Systems: Theory and Implementation", Amos Omondi, Benjamin Premkumar - наиболее исчерпывающая информация о применении СОК с подробными примерами (на английском языке).

Версия 15:48, 23 апреля 2013

Система остаточных классов (СОК) (от англ. Residue number system, другое название Модулярная арифметика) - непозиционная система счисления. Представление числа в системе остаточных классов основано на понятии вычета и китайской теореме об остатках. СОК определяется набором взаимно простых модулей (m_1, m_2, \dots, m_n) с произведением M=m_1\cdot m_2\cdot \dots\cdot m_n так, что каждому целому числу x из отрезка [0,M-1] ставится в соответствие набор вычетов (x_1, x_2, \dots, x_n), где

x_1 \equiv x \pmod{m_1};
x_2 \equiv x \pmod{m_2};
…
x_n \equiv x \pmod{m_n}.

При этом китайская теорема об остатках гарантирует однозначность представления для чисел из отрезка [0,M-1].

Преимущества системы остаточных классов

  • В СОК арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление) выполняются покомпонентно, если про результат известно, что он является целочисленным и также лежит в [0,M-1].

Формула для сложения: (x_1, x_2, \dots, x_n) + (y_1, y_2, \dots, y_n) = (z_1, z_2, \dots, z_n), где

z_1 \equiv (x_1 + y_1) \pmod{m_1};
z_2 \equiv (x_2 + y_2) \pmod{m_2};
...
z_n \equiv (x_n + y_n) \pmod{m_n};

Аналогично выполняются вычитание, умножение и деление.

Недостатки системы остаточных классов

  • Возможность представления только ограниченного количества чисел.
  • Отсутствие эффективных алгоритмов для сравнения чисел, представленных в СОК. Сравнение обычно осуществляется через перевод аргументов из СОК в смешанную систему счисления по основаниям (m_1, m_1\cdot m_2, \dots, m_1\cdot m_2\cdot\dots\cdot m_{n-1}).
  • Медленные и требующие работы с большими числами реализации алгоритмов перевода из позиционной системы счисления в СОК и обратно.
  • Сложные алгоритмы деления (для случая, когда результат не является целым)
  • Трудность в обнаружении переполнения

Применение системы остаточных классов

СОК широко используется в микроэлектронике в специализированных устройствах [ЦОС], где требуется:

  • контроль за ошибками, за счет введения дополнительных избыточных модулей
  • высокая скорость работы, которую обеспечивает параллельная реализация базовых арифметических операций

Специальные системы модулей

В модулярной арифметике существуют специальные наборы модулей, которые позволяют частично нивелировать недостатки и для которых существуют эффективные алгоритмы сравнения чисел и для прямого и обратного перевода модулярных чисел в позиционную систему счисления. Одной из самых популярных систем модулей является набор из трех взаимнопростых чисел вида {2n-1, 2n, 2n+1}

Основные определения

Система остаточных классов используется для представления больших чисел N, обеспечивая таким образом более эффективные вычисления. В основе данного представления лежит изоморфизм \mathbb{Z}/m_1\cdot\ldots\cdot m_n\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}/m_1\mathbb{Z}\times\ldots\times\mathbb{Z}/m_n\mathbb{Z} , который доставляет китайская теорема об остатках.

Системой остаточных классов называют произвольное конечное множество \{m_1,\ldots ,m_n\}\subset\mathbb{N}, такое что \gcd\limits_{i\ne j}(m_i,m_j)=1, где n\in\mathbb{N}. Пусть задана произвольная система остаточных классов \{m_1,\ldots ,m_n\} и положим, что M=\prod\limits_{i=1}^{n}m_i. Тогда в силу китайской теоремы об остатках имеем эпиморфизм колец \varphi: \mathbb{Z}\to\prod\limits_{i=1}^{n}\mathbb{Z}/m_i\mathbb{Z}, т.ч. \operatorname{Ker}\varphi=M\mathbb{Z}, который индуцирует канонический изоморфизм \mathbb{Z}/M\mathbb{Z}\cong\prod\limits_{i=1}^{n}\mathbb{Z}/m_i\mathbb{Z}.

Выполнение арифметических операций

С использованием системы остаточных классов можно выполнять основные арифметические операции.

Сложение и вычитание

Пусть A,B- произвольные натуральные числа. Положим, что A,B представляются в виде системы остаточных классов как (a_1,\ldots ,a_n) и (b_1,\ldots b_n) соответственно. Формально, \varphi^{-1}(a_1,\ldots ,a_n)=A, \varphi^{-1}(b_1,\ldots b_n)=B. В силу того, что \varphi- изоморфизм будем иметь \varphi^{-1}((a_1,\ldots ,a_n)+(b_1,\ldots b_n))=\varphi^{-1}(a_1,\ldots ,a_n)+\varphi^{-1}(b_1,\ldots b_n). Обозначим через C остаток A+B от деления на M. Тогда C представляется в виде системы остаточных классов как (a_1+b_1,\ldots ,a_n+b_n).

Умножение

D- остаток от деления A\cdot B на M. Тогда D представляется в виде системы остаточных классов как (a_1b_1,\ldots ,a_nb_n).

Деление

Деление A на B с использованием системы остаточных классов можно выполнять не всегда. Положим, что E- остаток AB^{-1} от деления на M. На языке теории колец это означает, что b_i,1\le i\le n обратим и b_i^{-1}- обратный. Тогда AB^{-1} представляется в виде (a_1b_1^{-1},\ldots ,a_nb_n^{-1}).

Факторизация полупростых чисел

Пусть X=Y\cdot Z- полупростое число. Рассмотрим систему остаточных классов p_i,\ldots, p_N, где p_i— i-е простое число.

Численный пример

Пример

Рассмотрим СОК с базисом (2;3;5). В этом базисе можно взаимооднозначно представить числа из промежутка от 0 до 29, так как M = 2\times 3\times 5 = 30. Таблица соответствия чисел из позиционной системы счисления и системы остаточных классов:

0=(0;0;0) 1=(1;1;1) 2=(0;2;2) 3=(1;0;3) 4=(0;1;4)
5=(1;2;0) 6=(0;0;1) 7=(1;1;2) 8=(0;2;3) 9=(1;0;4)
10=(0;1;0) 11=(1;2;1) 12=(0;0;2) 13=(1;1;3) 14=(0;2;4)
15=(1;0;0) 16=(0;1;1) 17=(1;2;2) 18=(0;0;3) 19=(1;1;4)
20=(0;2;0) 21=(1;0;1) 22=(0;1;2) 23=(1;2;3) 24=(0;0;4)
25=(1;1;0) 26=(0;2;1) 27=(1;0;2) 28=(0;1;3) 29=(1;2;4)

Пример сложения

Сложим два числа 9 и 14 в базисе (2;3;5). Их представление в заданном базисе 9=(1;0;4) и 14=(0;2;4) (см. табличку выше). Воспользуемся формулой для сложения: (z_1, z_2, z_3) = (1, 0, 4) + (0, 2, 4)

z_1 \equiv (x_1 + y_1) \pmod{m_1} \equiv (1 + 0) \pmod{2} = 1;
z_2 \equiv (x_2 + y_2) \pmod{m_2} \equiv (0 + 2) \pmod{3} = 2;
z_3 \equiv (x_3 + y_3) \pmod{m_3} \equiv (4 + 4) \pmod{5} = 3;

(z_1, z_2, z_3) = (1, 2, 3) - по таблице убеждаемся, что результат равен 23.

Пример умножения

Умножим два числа 4 и 5 в базисе (2;3;5). Их представление в заданном базисе 4=(0;1;4) и 5=(1;2;0) (см. табличку выше). Воспользуемся формулой для умножения: (z_1, z_2, z_3) = (0, 1, 4) * (1, 2, 0)

z_1 \equiv (x_1 * y_1) \pmod{m_1} \equiv (0 * 1) \pmod{2} = 0;
z_2 \equiv (x_2 * y_2) \pmod{m_2} \equiv (1 * 2) \pmod{3} = 2;
z_3 \equiv (x_3 * y_3) \pmod{m_3} \equiv (4 * 0) \pmod{5} = 0;

(z_1, z_2, z_3) = (0, 2, 0) - по таблице убеждаемся, что результат равен 20.

Замечание: если бы мы умножали или складывали числа, которые дали в результате умножения число больше или равное M = 30, то полученный результат RES \equiv REAL \pmod{M}, где REAL - результат операции в позиционной системе счисления.

Пример деления, при условии, что оно делится нацело

Деление может быть выполнено аналогично умножению, но только если делитель делит делимое нацело, без остатка.
Для модулей (29;31;32) разделим число 1872 на 9.
Делим 1872=(16;12;16) на 9=(9;9;9).

Воспользуемся формулой
z_i \equiv (x_i * y_i^{-1}) \pmod{m_i};

Здесь надо сказать, что y_i^{-1}*y_i=1 \pmod{m_i}, что не то же самое, что просто разделить x на y.
По формуле y_i^{m_i-1}=1 \pmod{m_i} получаем
9^{29-2} \pmod{29} = 13
9^{31-2} \pmod{31} = 7
9^{32-2} \pmod{32} = 17


z_1 \equiv (16*13) \pmod{29} = 5
z_2 \equiv (12*7) \pmod{31} = 22
z_3 \equiv (16*17) \pmod{32} = 16

Это и есть правильный результат - число 208. Однако такой результат можно получить только если известно, что деление производится без остатка.

Ссылки

  • Книга "Residue Number Systems: Theory and Implementation", Amos Omondi, Benjamin Premkumar - наиболее исчерпывающая информация о применении СОК с подробными примерами (на английском языке).
Источник — «https://vscripts.ru/w/index.php?title=Система_остаточных_классов&oldid=328»