Свёртка (цифровая обработка сигналов) — различия между версиями

Материал из Модулярная арифметики
Перейти к: навигация, поиск
 
(не показано 8 промежуточных версии этого же участника)
Строка 1: Строка 1:
 
'''Свёртка''' (англ. Convolution) — это базовая операция в задачах цифровой обработки сигналов. В дискретном случае различают два вида сверток: линейную и циклическую.
 
'''Свёртка''' (англ. Convolution) — это базовая операция в задачах цифровой обработки сигналов. В дискретном случае различают два вида сверток: линейную и циклическую.
  
−
Пусть имеется два дискретных сигнала <math>a(n), n=0...N-1</math> и <math> b(n), n=0…M-1 </math>. В общем случае <math>N</math> и M отличаются.
+
Пусть имеется два дискретных сигнала <math>a(n), n=0...N-1</math> и <math> b(n), n=0...M-1 </math>. В общем случае <math>N</math> и <math>M</math> отличаются.
  
 
== Линейная свёртка ==
 
== Линейная свёртка ==
  
 
Линейной сверткой сигналов <math>a(n)</math> и <math>b(n)</math> называется дискретный сигнал вида:
 
Линейной сверткой сигналов <math>a(n)</math> и <math>b(n)</math> называется дискретный сигнал вида:
−
<math>s(n)=a*b=∑_(m=0)^n▒〖a(m)∙b(n-m)〗,     n=0…N+M-2</math>
+
<math>s(n)=\sum_{m=0}^{n}a(m)b(n-m), n=0...(N+M-2)</math>
  
−
Для вычисления линейной свертки сигналы a(n)и b(n)сдвигают относительно друг друга почленно перемножают и складывают. При этом предполагается, что a(n)=0 при n<0 и n>N, и b(n)=0 при  n<0 и n>M.
+
Для вычисления линейной свертки сигналы <math>a(n)</math> и <math>b(n)</math> сдвигают относительно друг друга почленно перемножают и складывают. При этом предполагается, что <math>a(n)=0</math> при <math>n<0</math> и <math>n\ge N</math>, и <math>b(n)=0</math> при  <math>n<0</math> и <math>n\ge M</math>.
  
 
== Циклическая свёртка ==
 
== Циклическая свёртка ==
  
−
В циклической свертке предполагается, что дискретные сигналы a(n) и b(n) – периодические с одинаковым периодом N отсчетов. Тогда циклической сверткой сигналов a(n) и b(n) называется сигнал вида:
+
В циклической свертке предполагается, что дискретные сигналы <math>a(n)</math> и <math>b(n)</math> – периодические с одинаковым периодом <math>N</math> отсчетов. Тогда циклической сверткой сигналов <math>a(n)</math> и <math>b(n)</math> называется сигнал вида:
−
s(n)=∑_(m=0)^(N-1)▒〖a(m)∙b(n-m)〗,    n=0…N-1  
+
<math>s(n)=\sum_{m=0}^{n}a(m)b(n-m),    n=0...N-1 </math>
−
Результат циклической свертки также имеет длину N отсчетов.  
+
Результат циклической свертки также имеет длину <math>N</math> отсчетов.  
  
 
== Вычисление линейной свертки через циклическую ==
 
== Вычисление линейной свертки через циклическую ==
  
−
Используя циклическую свертку можно рассчитать линейную свертку двух сигналов. Для этого необходимо каждый из сигналов a(n)и b(n) длительностью M и N отсчетов соответственно дополнить нулями до длины M+N-1. Вычисление линейной свертки через циклическую кажется нерациональным, однако на практике чаще бывает удобно вычислять именно циклическую свертку, благодаря так называемой [http://mathworld.wolfram.com/ConvolutionTheorem.html теореме о свертке]. Cуть теоремы о свертке: спектр циклической свертки есть произведение спектров сворачиваемых сигналов: S(k)=A(k)*B(k), где A(k) и B(k) - спектры сворачиваемых сигналов, S(k) - спектр циклической свертки двух сигналов. Где спектр есть ни что иное как [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5 Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)], для реализации которого можно использовать [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D1%8B%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5 быстрые алгоритмы БПФ]
+
Используя циклическую свертку можно рассчитать линейную свертку двух сигналов. Для этого необходимо каждый из сигналов <math>a(n)</math> и <math>b(n)</math> длительностью <math>M</math> и <math>N</math> отсчетов соответственно дополнить нулями до длины <math>M+N-1</math>. Вычисление линейной свертки через циклическую кажется нерациональным, однако на практике чаще бывает удобно вычислять именно циклическую свертку, благодаря так называемой [http://mathworld.wolfram.com/ConvolutionTheorem.html теореме о свертке]. Cуть теоремы о свертке: спектр циклической свертки есть произведение спектров сворачиваемых сигналов: <math>S(k)=A(k)*B(k)</math>, где <math>A(k)</math> и <math>B(k)</math> - спектры сворачиваемых сигналов, <math>S(k)</math> - спектр циклической свертки двух сигналов. Где спектр есть ни что иное как [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5 Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)], для реализации которого можно использовать [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D1%8B%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5 быстрые алгоритмы БПФ].
  
 
== Применение ==
 
== Применение ==
 
* Линейная свертка используется для расчета FIR-фильтров в цифровой обработке сигналов.
 
* Линейная свертка используется для расчета FIR-фильтров в цифровой обработке сигналов.
 
* Циклическую свертку используют для вычисления линейной свертки в том случае, если теорема о свертке дает хороший результат.
 
* Циклическую свертку используют для вычисления линейной свертки в том случае, если теорема о свертке дает хороший результат.

Текущая версия на 09:33, 29 июля 2013

Свёртка (англ. Convolution) — это базовая операция в задачах цифровой обработки сигналов. В дискретном случае различают два вида сверток: линейную и циклическую.

Пусть имеется два дискретных сигнала a(n), n=0...N-1 и b(n), n=0...M-1 . В общем случае N и M отличаются.

Линейная свёртка

Линейной сверткой сигналов a(n) и b(n) называется дискретный сигнал вида: s(n)=\sum_{m=0}^{n}a(m)b(n-m), n=0...(N+M-2)

Для вычисления линейной свертки сигналы a(n) и b(n) сдвигают относительно друг друга почленно перемножают и складывают. При этом предполагается, что a(n)=0 при n<0 и n\ge N, и b(n)=0 при n<0 и n\ge M.

Циклическая свёртка

В циклической свертке предполагается, что дискретные сигналы a(n) и b(n) – периодические с одинаковым периодом N отсчетов. Тогда циклической сверткой сигналов a(n) и b(n) называется сигнал вида: s(n)=\sum_{m=0}^{n}a(m)b(n-m), n=0...N-1 Результат циклической свертки также имеет длину N отсчетов.

Вычисление линейной свертки через циклическую

Используя циклическую свертку можно рассчитать линейную свертку двух сигналов. Для этого необходимо каждый из сигналов a(n) и b(n) длительностью M и N отсчетов соответственно дополнить нулями до длины M+N-1. Вычисление линейной свертки через циклическую кажется нерациональным, однако на практике чаще бывает удобно вычислять именно циклическую свертку, благодаря так называемой теореме о свертке. Cуть теоремы о свертке: спектр циклической свертки есть произведение спектров сворачиваемых сигналов: S(k)=A(k)*B(k), где A(k) и B(k) - спектры сворачиваемых сигналов, S(k) - спектр циклической свертки двух сигналов. Где спектр есть ни что иное как Дискретное преобразование Фурье (ДПФ), для реализации которого можно использовать быстрые алгоритмы БПФ.

Применение

  • Линейная свертка используется для расчета FIR-фильтров в цифровой обработке сигналов.
  • Циклическую свертку используют для вычисления линейной свертки в том случае, если теорема о свертке дает хороший результат.
Источник — «https://vscripts.ru/w/index.php?title=Свёртка_(цифровая_обработка_сигналов)&oldid=538»