Свёртка (цифровая обработка сигналов) — различия между версиями
Turbo (обсуждение | вклад) |
Turbo (обсуждение | вклад) |
||
| (не показаны 3 промежуточные версии этого же участника) | |||
| Строка 6: | Строка 6: | ||
Линейной сверткой сигналов <math>a(n)</math> и <math>b(n)</math> называется дискретный сигнал вида: | Линейной сверткой сигналов <math>a(n)</math> и <math>b(n)</math> называется дискретный сигнал вида: | ||
| − | <math>s(n)=\sum_{m=0}^{n}a(m)b(n-m), n=0...N+M-2</math> | + | <math>s(n)=\sum_{m=0}^{n}a(m)b(n-m), n=0...(N+M-2)</math> |
| − | Для вычисления линейной свертки сигналы a(n)и b(n)сдвигают относительно друг друга почленно перемножают и складывают. При этом предполагается, что a(n)=0 при n<0 и | + | Для вычисления линейной свертки сигналы <math>a(n)</math> и <math>b(n)</math> сдвигают относительно друг друга почленно перемножают и складывают. При этом предполагается, что <math>a(n)=0</math> при <math>n<0</math> и <math>n\ge N</math>, и <math>b(n)=0</math> при <math>n<0</math> и <math>n\ge M</math>. |
== Циклическая свёртка == | == Циклическая свёртка == | ||
| − | В циклической свертке предполагается, что дискретные сигналы <math>a(n)</math> и <math>b(n)</math> – периодические с одинаковым периодом N отсчетов. Тогда циклической сверткой сигналов a(n) и b(n) называется сигнал вида: | + | В циклической свертке предполагается, что дискретные сигналы <math>a(n)</math> и <math>b(n)</math> – периодические с одинаковым периодом <math>N</math> отсчетов. Тогда циклической сверткой сигналов <math>a(n)</math> и <math>b(n)</math> называется сигнал вида: |
| − | s(n)= | + | <math>s(n)=\sum_{m=0}^{n}a(m)b(n-m), n=0...N-1 </math> |
| − | Результат циклической свертки также имеет длину N отсчетов. | + | Результат циклической свертки также имеет длину <math>N</math> отсчетов. |
== Вычисление линейной свертки через циклическую == | == Вычисление линейной свертки через циклическую == | ||
| − | Используя циклическую свертку можно рассчитать линейную свертку двух сигналов. Для этого необходимо каждый из сигналов a(n)и b(n) длительностью M и N отсчетов соответственно дополнить нулями до длины M+N-1. Вычисление линейной свертки через циклическую кажется нерациональным, однако на практике чаще бывает удобно вычислять именно циклическую свертку, благодаря так называемой [http://mathworld.wolfram.com/ConvolutionTheorem.html теореме о свертке]. Cуть теоремы о свертке: спектр циклической свертки есть произведение спектров сворачиваемых сигналов: S(k)=A(k)*B(k), где A(k) и B(k) - спектры сворачиваемых сигналов, S(k) - спектр циклической свертки двух сигналов. Где спектр есть ни что иное как [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5 Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)], для реализации которого можно использовать [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D1%8B%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5 быстрые алгоритмы БПФ] | + | Используя циклическую свертку можно рассчитать линейную свертку двух сигналов. Для этого необходимо каждый из сигналов <math>a(n)</math> и <math>b(n)</math> длительностью <math>M</math> и <math>N</math> отсчетов соответственно дополнить нулями до длины <math>M+N-1</math>. Вычисление линейной свертки через циклическую кажется нерациональным, однако на практике чаще бывает удобно вычислять именно циклическую свертку, благодаря так называемой [http://mathworld.wolfram.com/ConvolutionTheorem.html теореме о свертке]. Cуть теоремы о свертке: спектр циклической свертки есть произведение спектров сворачиваемых сигналов: <math>S(k)=A(k)*B(k)</math>, где <math>A(k)</math> и <math>B(k)</math> - спектры сворачиваемых сигналов, <math>S(k)</math> - спектр циклической свертки двух сигналов. Где спектр есть ни что иное как [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5 Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)], для реализации которого можно использовать [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D1%8B%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5 быстрые алгоритмы БПФ]. |
== Применение == | == Применение == | ||
* Линейная свертка используется для расчета FIR-фильтров в цифровой обработке сигналов. | * Линейная свертка используется для расчета FIR-фильтров в цифровой обработке сигналов. | ||
* Циклическую свертку используют для вычисления линейной свертки в том случае, если теорема о свертке дает хороший результат. | * Циклическую свертку используют для вычисления линейной свертки в том случае, если теорема о свертке дает хороший результат. | ||
Текущая версия на 09:33, 29 июля 2013
Свёртка (англ. Convolution) — это базовая операция в задачах цифровой обработки сигналов. В дискретном случае различают два вида сверток: линейную и циклическую.
Пусть имеется два дискретных сигнала 
и 
. В общем случае 
и 
отличаются.
Содержание
Линейная свёртка
Линейной сверткой сигналов 
и 
называется дискретный сигнал вида:
Для вычисления линейной свертки сигналы и сдвигают относительно друг друга почленно перемножают и складывают. При этом предполагается, что 
при 
и 
, и 
при и 
.
Циклическая свёртка
В циклической свертке предполагается, что дискретные сигналы и – периодические с одинаковым периодом отсчетов. Тогда циклической сверткой сигналов и называется сигнал вида:
Результат циклической свертки также имеет длину отсчетов.
Вычисление линейной свертки через циклическую
Используя циклическую свертку можно рассчитать линейную свертку двух сигналов. Для этого необходимо каждый из сигналов и длительностью и отсчетов соответственно дополнить нулями до длины 
. Вычисление линейной свертки через циклическую кажется нерациональным, однако на практике чаще бывает удобно вычислять именно циклическую свертку, благодаря так называемой теореме о свертке. Cуть теоремы о свертке: спектр циклической свертки есть произведение спектров сворачиваемых сигналов: 
, где 
и 
- спектры сворачиваемых сигналов, 
- спектр циклической свертки двух сигналов. Где спектр есть ни что иное как Дискретное преобразование Фурье (ДПФ), для реализации которого можно использовать быстрые алгоритмы БПФ.
Применение
- Линейная свертка используется для расчета FIR-фильтров в цифровой обработке сигналов.
- Циклическую свертку используют для вычисления линейной свертки в том случае, если теорема о свертке дает хороший результат.
