Свёртка (цифровая обработка сигналов) — различия между версиями
Turbo (обсуждение | вклад) |
Turbo (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 12: | Строка 12: | ||
== Циклическая свёртка == | == Циклическая свёртка == | ||
| − | В циклической свертке предполагается, что дискретные сигналы <math>a(n)</math> и b(n) – периодические с одинаковым периодом N отсчетов. Тогда циклической сверткой сигналов a(n) и b(n) называется сигнал вида: | + | В циклической свертке предполагается, что дискретные сигналы <math>a(n)</math> и <math>b(n)</math> – периодические с одинаковым периодом N отсчетов. Тогда циклической сверткой сигналов a(n) и b(n) называется сигнал вида: |
s(n)=∑_(m=0)^(N-1)▒〖a(m)∙b(n-m)〗, n=0…N-1 | s(n)=∑_(m=0)^(N-1)▒〖a(m)∙b(n-m)〗, n=0…N-1 | ||
Результат циклической свертки также имеет длину N отсчетов. | Результат циклической свертки также имеет длину N отсчетов. | ||
Версия 16:45, 13 июля 2013
Свёртка (англ. Convolution) — это базовая операция в задачах цифровой обработки сигналов. В дискретном случае различают два вида сверток: линейную и циклическую.
Пусть имеется два дискретных сигнала 
и Невозможно разобрать выражение (лексическая ошибка): b(n), n=0…M-1
. В общем случае 
и M отличаются.
Содержание
Линейная свёртка
Линейной сверткой сигналов 
и 
называется дискретный сигнал вида:
Невозможно разобрать выражение (лексическая ошибка): s(n)=a*b=∑_(m=0)^n▒〖a(m)∙b(n-m)〗, n=0…N+M-2
Для вычисления линейной свертки сигналы a(n)и b(n)сдвигают относительно друг друга почленно перемножают и складывают. При этом предполагается, что a(n)=0 при n<0 и n>N, и b(n)=0 при n<0 и n>M.
Циклическая свёртка
В циклической свертке предполагается, что дискретные сигналы 
и – периодические с одинаковым периодом N отсчетов. Тогда циклической сверткой сигналов a(n) и b(n) называется сигнал вида:
s(n)=∑_(m=0)^(N-1)▒〖a(m)∙b(n-m)〗, n=0…N-1
Результат циклической свертки также имеет длину N отсчетов.
Вычисление линейной свертки через циклическую
Используя циклическую свертку можно рассчитать линейную свертку двух сигналов. Для этого необходимо каждый из сигналов a(n)и b(n) длительностью M и N отсчетов соответственно дополнить нулями до длины M+N-1. Вычисление линейной свертки через циклическую кажется нерациональным, однако на практике чаще бывает удобно вычислять именно циклическую свертку, благодаря так называемой теореме о свертке. Cуть теоремы о свертке: спектр циклической свертки есть произведение спектров сворачиваемых сигналов: S(k)=A(k)*B(k), где A(k) и B(k) - спектры сворачиваемых сигналов, S(k) - спектр циклической свертки двух сигналов. Где спектр есть ни что иное как Дискретное преобразование Фурье (ДПФ), для реализации которого можно использовать быстрые алгоритмы БПФ
Применение
- Линейная свертка используется для расчета FIR-фильтров в цифровой обработке сигналов.
- Циклическую свертку используют для вычисления линейной свертки в том случае, если теорема о свертке дает хороший результат.
