Свёртка (цифровая обработка сигналов) — различия между версиями
Turbo (обсуждение | вклад) |
Turbo (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 8: | Строка 8: | ||
<math>s(n)=\sum_{m=0}^{n}a(m)b(n-m), n=0...(N+M-2)</math> | <math>s(n)=\sum_{m=0}^{n}a(m)b(n-m), n=0...(N+M-2)</math> | ||
| − | Для вычисления линейной свертки сигналы <math>a(n)</math> и <math>b(n)</math> сдвигают относительно друг друга почленно перемножают и складывают. При этом предполагается, что <math>a(n)=0</math> при <math>n<0</math> и <math>n | + | Для вычисления линейной свертки сигналы <math>a(n)</math> и <math>b(n)</math> сдвигают относительно друг друга почленно перемножают и складывают. При этом предполагается, что <math>a(n)=0</math> при <math>n<0</math> и <math>n\ge N</math>, и <math>b(n)=0</math> при <math>n<0</math> и <math>n\ge M</math>. |
== Циклическая свёртка == | == Циклическая свёртка == | ||
Текущая версия на 09:33, 29 июля 2013
Свёртка (англ. Convolution) — это базовая операция в задачах цифровой обработки сигналов. В дискретном случае различают два вида сверток: линейную и циклическую.
Пусть имеется два дискретных сигнала 
и 
. В общем случае 
и 
отличаются.
Содержание
Линейная свёртка
Линейной сверткой сигналов 
и 
называется дискретный сигнал вида:
Для вычисления линейной свертки сигналы и сдвигают относительно друг друга почленно перемножают и складывают. При этом предполагается, что 
при 
и 
, и 
при и 
.
Циклическая свёртка
В циклической свертке предполагается, что дискретные сигналы и – периодические с одинаковым периодом отсчетов. Тогда циклической сверткой сигналов и называется сигнал вида:
Результат циклической свертки также имеет длину отсчетов.
Вычисление линейной свертки через циклическую
Используя циклическую свертку можно рассчитать линейную свертку двух сигналов. Для этого необходимо каждый из сигналов и длительностью и отсчетов соответственно дополнить нулями до длины 
. Вычисление линейной свертки через циклическую кажется нерациональным, однако на практике чаще бывает удобно вычислять именно циклическую свертку, благодаря так называемой теореме о свертке. Cуть теоремы о свертке: спектр циклической свертки есть произведение спектров сворачиваемых сигналов: 
, где 
и 
- спектры сворачиваемых сигналов, 
- спектр циклической свертки двух сигналов. Где спектр есть ни что иное как Дискретное преобразование Фурье (ДПФ), для реализации которого можно использовать быстрые алгоритмы БПФ.
Применение
- Линейная свертка используется для расчета FIR-фильтров в цифровой обработке сигналов.
- Циклическую свертку используют для вычисления линейной свертки в том случае, если теорема о свертке дает хороший результат.
