Рекурсивная модулярная арифметика — различия между версиями

Материал из Модулярная арифметики
Перейти к: навигация, поиск
Строка 82: Строка 82:
  
 
:<math>L = \sum_{i=1}^{n} L_i = m+m \cdot (2^0+2^1+ \ldots +2^{n-m+1}) = m \cdot (1+ \frac{2^{n-m}-1}{2-1}) = 2^{n-m} \cdot m </math>
 
:<math>L = \sum_{i=1}^{n} L_i = m+m \cdot (2^0+2^1+ \ldots +2^{n-m+1}) = m \cdot (1+ \frac{2^{n-m}-1}{2-1}) = 2^{n-m} \cdot m </math>
 +
 +
 +
Рассмотрим численный пример. Пусть задана система модулей:
 +
<math> (p_1, p_2, p_3, p_4, p_5) = (2,3,5,29,863) </math> .
 +
<math> P = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 29 \cdot 863 = 750810 </math> .
 +
Также необходимо убедиться что
 +
<math> 2 \cdot 3 >5, 2 \cdot 3 \cdot 5 >29 </math>, <math> 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 29 >863 </math> .
 +
 +
Выберем систему базовых модулей <math> (p_1, p_2) </math> .
 +
В этом случае <math> Q = p_1 \cdot p_2 = 6 </math> , <math> n = 5, m = 2 </math> .
 +
Число элементов вектора <math> L = 2^3 \cdot 2 = 16 </math> .
 +
 +
 +
Разложим число <math> A = 865 </math> , заданное в позиционной системе счисления в вектор по обычному базису.
 +
 +
 +
:<math> A = ( |865|_2,  |865|_3,  |865|_5,  |865|_29,  |865|_863 ) = ( 1, 1, 0, 24, 2 )</math> .
 +
 +
 +
Теперь разложим число <math> A </math> по рекурсивному базису:
 +
 +
 +
:<math> A = ( |865|_2,  |865|_3, ( | |865|_5|_2, | |865|_5|_3 ), </math>
 +
 +
::<math>  ( | |865|_29|_2, | |865|_29|_3 , ( | | |865|_29|_5|_2, | | |865|_29|_5|_3 ) ) , </math>
 +
 +
::<math>  ( | |865|_863|_2, | |865|_863|_3 , ( | | |865|_863|_5|_2, | | |865|_863|_5|_3 ) ) , </math>
 +
 +
::<math>  ( | | |865|_863|_29|_2, | |865|_863|_29|_3 , </math>
 +
 +
::<math>  ( | | | |865|_863|_29|_5|_2, | | | |865|_863|_29|_5|_3 ) ) ) ) </math> .
 +
 +
 +
Поскольку все числа в этом векторе не превышают 3, то для хранения вектора потребуется 16*2=32 бит вместо 20 бит для хранения числа в позиционной системе счисления. Степень избыточности составит 1.6. Иллюстрацию к примеру смотрите на рисунке 3.
  
 
== Ограничения на выбор базиса ==
 
== Ограничения на выбор базиса ==

Версия 08:25, 29 апреля 2014

Принцип рекурсивных модулярных вычислений

Рекурсивная модулярная арифметика основана на принципе глубокого распараллеливания модульных операций модулярной арифметики с основаниями p_1,p_2,\ldots,p_n посредством сведения модульных операций по каждому рабочему основанию p_j, i<=j<=n к модульным вычислениям по предшествующим рабочим основаниям p_1,p_2,\ldots,p_{i-1}, имеющим то или иное технологическое преимущество (например, малобитным), которые называются базисными основаниями. Такая редукция допустима только при выполнении так называемого условия согласования вычислительных диапазонов по каждому рабочему модулю p_j с вычислительными диапазонами по соответствующим комплексам базисных оснований. Принцип согласования гарантирует, во-первых, изоморфизм кольцевых операций по соответствующим им комплексам базисных оснований, и во-вторых, выполнимость обращения каждого шага рекурсии посредством перевода соответствующих модулярных кодов по базисным основаниям в позиционный код (например, на основе китайской теоремы об остатках, или переводом их в полиадический код). Несмотря на ограничения, которые накладываются на систему модулей, предложенный метод обеспечивает выигрыш по скорости и может быть применен в параллельных высокоскоростных вычислительных устройствах.

Пример

Поясним процедуру рекурсивных преобразований на простом примере. Возьмем в качестве базисных модулей двухбитные простые числа p_1=2, p_2=3. Очевидно, что вычетами по модулям 2 и 3 можно однозначно представить любой вычет по модулю 5. В то же время вычетами по модулям 2, 3 и 5, где вычеты по модулю 5 представимы по модулям 2 и 3, можно однозначно представить любой вычет по модулю 29. Вычетами по модулям 2, 3, 5 и 29 можно однозначно представить любой вычет по модулю 863. И так далее пока не получим нужный набор рабочих оснований: 2, 3, 5, 29, 863,… Данный пример наглядно иллюстрирует 4 факта:

1) Аппаратные и временные затраты на представление чисел по базовым модулям 2 и 3 примерно одинаковы (оба базисных модуля двухбитные);

2) Наблюдается более высокая степень распараллеливаемости;

3) Появляется регулярность (все вычисления проводятся по модулям 2 и 3);

4) Столь малая разрядность базовых модулей позволяет эффективно реализовать модульные операции по базисным модулям в комбинационных схемах.

Однако имеется ряд ограничений, которые должны быть выполнены и которые приводят к усложнению устройств, созданных по данной методике. Рассмотрим эти ограничения.

Пусть есть система базисных модулей p_1,p_2,\ldots,p_m и необходимо представить вычеты по модулю p_{m+1} через вычеты по этой системе базовых модулей. Очевидно, что максимальный вычет по модулю p_{m+1} равен max=p_{m+1}-1. Зная это значение и последовательность выполняемых операций, можно рассчитать максимальное значение MAX результата арифметической операции. Очевидно, что для однозначного представления результата арифметических операций необходимо, чтобы MAX<Q, где Q=p_1\cdot p_2\cdot \ldots \cdot p_m. Для остальных модулей расчет производится аналогично.

Для примера с базовыми модулями 2 и 3 Q=2\cdot 3 = 6. Наименьшее простое число (после 2 и 3) - это 5, следовательно, max=4. Нельзя выполнить ни операцию сложения, т.к. 2\cdot max > Q (8 > 6) , ни, тем более, операцию умножения, т.к. max^2 > Q (16 > 6). Чтобы выполнять любую из арифметических операций (сложение или умножение) надо увеличить число Q (т.е. увеличить значения базисных модулей и/или их количество).

Возьмем в качестве базисных модулей все взаимно простые трехбитные числа: 4, 5 и 7. В этом случае Q=4\cdot 5\cdot 7=140.

Таким образом, выбираем p_{i} = 11 (ближайшее к 7 простое число). Далее совокупность рабочих модулей строится с помощью аналогичного расчета, пока не будет достигнут требуемый вычислительный диапазон.

Наконец рассмотрим реальный случай. Пусть нам нужно реализовать преобразователь Фурье для 24-битных аргументов при количестве точек 1024. Для этого потребуется вычислять сумму 1024 произведений, т.е. обеспечить 1024 \cdot max^2 < Q . Здесь уже не обойтись системой только трехбитных базисных модулей. Добавим к ним четырехбитные: 5, 7, 8, 9, 11 и 13 (Q = 360360). Для выбора ближайшего рабочего модуля необходимо \frac{\sqrt Q}{1024}.

Получаем p_{i}-1 < 32 . Выбираем p_{i} = 31 .

Аналогичным расчетом реализуем рекурсивное дерево рабочих оснований целиком. Чтобы сделать такое устройство, нужно спроектировать блок из 6 вычислителей (для каждого базисного модуля) и таких блоков нужно будет 16. Вот где работает регулярность. Заметим, что все вычислители будут иметь высокую скорость модульных операций (суперраспараллеливание) и небольшие аппаратные затраты в силу малости базисных модулей или их близости к степеням двойки.

Таким образом, предложенный аппарат рекурсивных модулярных вычислений дает следующие преимущества:

1. Устранение дисбаланса в операциях с малыми и большими модулями (аппаратные и временные затраты примерно одинаковы, т.к. в идеале все базисные модули имеют одинаковое число бит).
2. Существенно более высокая степень распараллеливаемости, а значит и более высокое быстродействие.
3. Появляется регулярность (большое количество одинаковых базисных модулей).
4. Малая разрядность базисных модулей позволяет реализовать модульные операции на комбинационных схемах, оптимизированных в базисе булевых функций.


Представление данных и основные операции рекурсивной модулярной арифметики

Идея, на которой базируется рекурсивная модулярная арифметика: выразить систему модулей через систему субмодулей, имеющую меньшую размерность.

Пусть задана система модулей p_1, p_2, \ldots, p_i, \ldots , p_n и задан некоторый вектор A = (a_1, a_2, \ldots , a_n) . Выразим a_i через систему субмодулей

p_i = (p_{i,1}, p_{i,2}, \ldots , p_{i,k}) , где P_i = p_{i,1}, p_{i,2}, \ldots , p_{i,k} и a_i < P_i  : a_i = (a_{i,1}, a_{i,2}, \ldots , a_{i,k}) .

В этом случае вектор A можно представить в следующем виде:

(a_1, a_2, \ldots , a_{i-1}, (a_{i,1}, a_{i,2}, \ldots , a_{i,k}), a_{i+1}, \ldots , a_n) , см. рис. 1.

Назовем систему из m младших модулей системой базовых модулей, а их произведение обозначим Q = (p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_m) .

Пусть P_{i,1} = p_i, p_{i,2} = p_2, \ldots , p_{i,i-1} = p_{i-1} , а k = i-1 , тогда при i = m+1, \ldots , n имеет место рекурсия. a_i = (a_1, a_2, \ldots , a_m, a_{m+1}, \ldots , a_{i-1}) по системе модулей p_1, p_2, \ldots , p_m, p_{m+1}, \ldots , p_{i-1} или, раскрывая рекурсию: a_i = (a_1, a_2, \ldots , a_m, (a_{m+1,1}, a_{m+1,2}, \ldots , a_{m+1,m} ), \ldots) . На рис.2 приведен частный случай разложения элемента a_i для случая n=6 и m=3 .


Прямое преобразование числа из позиционной системы счисления в представление рекурсивной модулярной арифметики

Если в традиционной модулярной арифметике число элементов вектора равно числу элементов в системе модулей, то в рекурсивной модулярной арифметике количество элементов вектора увеличивается в зависимости от заданных n и m . Очевидно, что каждый из первых m элементов представляется в виде одного числа. (m+1)-й элемент содержит m элементов, поскольку выражается через m элементов системы субмодулей:

a_{m+1} = (a_{m+1,1}, a_{m+1,2}, \ldots , a_{m+1,m}) .

(m+2)-й элемент содержит 2 \cdot m элементов, поскольку выражается через m элементов системы субмодулей и m элементов вектора a_{m+1} . Таким образом, продолжая рассуждения, можно заключить, что число элементов L_i для вектора a_i может быть выражено следующей формулой:

L_i = \begin{cases} 1, & \mbox{if } i \le m ; \\ 2^{i-m-1} \cdot m, & \mbox{if } m<i<n \end{cases}

Общее же число элементов L вектора A можно рассчитать, воспользовавшись формулой суммы геометрической прогрессии:

L = \sum_{i=1}^{n} L_i = m+m \cdot (2^0+2^1+ \ldots +2^{n-m+1}) = m \cdot (1+ \frac{2^{n-m}-1}{2-1}) = 2^{n-m} \cdot m


Рассмотрим численный пример. Пусть задана система модулей: (p_1, p_2, p_3, p_4, p_5) = (2,3,5,29,863) . P = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 29 \cdot 863 = 750810 . Также необходимо убедиться что 2 \cdot 3 >5, 2 \cdot 3 \cdot 5 >29 , 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 29 >863 .

Выберем систему базовых модулей (p_1, p_2) . В этом случае Q = p_1 \cdot p_2 = 6 , n = 5, m = 2 . Число элементов вектора L = 2^3 \cdot 2 = 16 .


Разложим число A = 865 , заданное в позиционной системе счисления в вектор по обычному базису.


A = ( |865|_2, |865|_3, |865|_5, |865|_29, |865|_863 ) = ( 1, 1, 0, 24, 2 ) .


Теперь разложим число A по рекурсивному базису:


A = ( |865|_2, |865|_3, ( | |865|_5|_2, | |865|_5|_3 ),
( | |865|_29|_2, | |865|_29|_3 , ( | | |865|_29|_5|_2, | | |865|_29|_5|_3 ) ) ,
( | |865|_863|_2, | |865|_863|_3 , ( | | |865|_863|_5|_2, | | |865|_863|_5|_3 ) ) ,
( | | |865|_863|_29|_2, | |865|_863|_29|_3 ,
( | | | |865|_863|_29|_5|_2, | | | |865|_863|_29|_5|_3 ) ) ) ) .


Поскольку все числа в этом векторе не превышают 3, то для хранения вектора потребуется 16*2=32 бит вместо 20 бит для хранения числа в позиционной системе счисления. Степень избыточности составит 1.6. Иллюстрацию к примеру смотрите на рисунке 3.

Ограничения на выбор базиса

Обратное преобразование числа из рекурсивного представления в позиционное

Сложение и умножение в рекурсивной модулярной арифметике

Источник — «https://vscripts.ru/w/index.php?title=Рекурсивная_модулярная_арифметика&oldid=830»