Версия 13:47, 28 мая 2014

Аддитивный характер вычислений в кольце вычетов $Z_p$ порождает дополнительные расходы на выполнение арифметических операций. Это обусловлено тем, что результат выполненной операции может выйти за диапазон $Z_p$ , тогда требуется корректировка результата, т.е. взятие результата выполненной операции по модулю. Мультипликативная операция над остатками x, y mod p более трудоемка, поэтому наиболее эффективным способом избежать прямой реализации мультипликативной операции является переход к индексам вычетов по основанию первообразного корня, однозначно связанных с данным модулярным кодом.

В случае индексной арифметики операция «+» выполняется за один такт модульного суммирования, а операция «*» за такт модульного суммирования и два такта табличной операции.

Кодовая конструкция проф. Д.А. Поспелова

Для того, чтобы сбалансировать выполнение модульных операций Д.А. Поспелов ввел представление исходных операндов в виде пар $<|x|_p, ind_w|x|_p>$ >, где $|x|_p$ есть вычет $x$ по модулю $p$ , $i = ind_w|x|_p$ - соответствующий вычету $|x|_p$ индекс, при этом условно считается, что вычету 0 соответствует специальный символ λ, который обладает свойством λ+i=i+λ для любого для любого индекса $0\le i\le p-2$ . Таким образом, все операции поля выполняются над парами: если требуется найти сумму двух операндов по модулю $p$ , то суммируются по модулю $p$ первые компоненты пар; для формирования второй компоненты пары результата этот результат преобразуется в индекс путем выборки значения из таблицы индексов (рис.1). Если требуется найти произведение двух операндов по модулю $p$ , то суммируются по модулю $p - 1$ вторые компоненты пар; для формирования первой компоненты пары результата этот результат преобразуется в антилогарифм (вычет) путем выборки значения из таблицы вычетов (рис.2):

Рис.1. Структурная схема операции сложения

Рис.2. Структурная схема операции умножения

Арифметику, построенную на парном представлении операндов, будем называть бимодульной арифметикой поля $GF(p)$ . Таким образом, операции сложения и умножения сведены к операциям сложения по модулю $p$ и модулю $p-1$ , соответственно, и одной табличной операции выбора второй компоненты пары результата. Такое решение позволяет сократить время выполнения мультипликативной операции на один такт табличной операции и площадь на хранение двух таблиц преобразования в индексы, размерность каждой таблицы $2(p-1)$ . При этом, Д.А. Поспелов утверждает [1, стр. 296], что, несмотря на то, что логика операции умножения по модулю $p$ стала более сложной, чем в обычной системе кода в остатках, выигрыш состоит в «однотипности оборудования для производства операций сложения и умножения». Данное утверждение справедливо в общем случае, когда сумматоры по модулям $p$ и $(p-1)$ проектируются по методу прямой логической реализации с использованием двоичных функциональных блоков. В этом случае суммирование по модулю $m$ для двух операндов $x$ и $y$ , находящихся в диапазоне ${0, 1,\ldots, m-1}$ , выполняется по следующей формуле:

${|x+y|}_m = \begin{cases} x+y, & \mbox{if } (x+y) < m ; \\ x+y-m, & \mbox{if } (x+y) \ge m. \end{cases}$

Модифицированная кодовая конструкция

Рассмотренный метод построения сумматоров по модулю, во-первых, позволяет в полной мере использовать современные наработки в области проектирования двоичных устройств, во-вторых, предоставляет большую гибкость при реализации каждого компонента в составе всего вычислительного блока в зависимости от требований к занимаемой площади и быстродействию. В-третьих, метод универсален, т.е. независим от специфики используемого базового модуля m.

Однако в настоящее время все большую популярность завоевывают гибридные методы построения базовых арифметических узлов модулярной арифметики. Такие методы представляют собой комбинацию методов прямой логической реализации и методов на основе таблиц состояний. Использование гибридных методов обеспечивает компромисс между быстродействием и затратами на занимаемую площадь для некоторых значений модулей. В случае же реализации арифметики в кодах Д.А. Поспелова требуется оценивать проектирование сумматоров не только относительно базового модуля $p$ , но и модуля $p-1$ , иначе теряется основная идея данного кодирования, а именно, однотипность оборудования.

Следующая модификация кода Д.А. Поспелова развивает его идею однотипности. Развитие идеи однотипности состоит в том, чтобы аддитивные и мультипликативные операции модульной арифметики выполнялись не только аппаратно однотипно, но и однотипно в кодовом представлении операндов. Это достигается путем перехода от предствления компонент пар операндов по модулям $p$ , и $p-1$ к однородному представлению по модулю $p-1$ .

Введем понятие модифицированного вычета по модулю:

Ссылки

[1] Поспелов Д.А. Арифметические основы вычислительных машин дискретного действия. М.: Высш. шк., 1970.

@@ Строка 23: / Строка 23: @@
 \end{cases}
 </math>
 = Модифицированная кодовая конструкция =
+Рассмотренный метод построения сумматоров по модулю, во-первых, позволяет в полной мере использовать современные наработки в области проектирования двоичных устройств, во-вторых, предоставляет большую гибкость при реализации каждого компонента в составе всего вычислительного блока в зависимости от требований к занимаемой площади и быстродействию. В-третьих, метод универсален, т.е. независим от специфики используемого базового модуля m.
+Однако в настоящее время все большую популярность завоевывают гибридные методы построения базовых арифметических узлов модулярной арифметики. Такие методы представляют собой комбинацию методов прямой логической реализации и методов на основе таблиц состояний. Использование гибридных методов обеспечивает компромисс между быстродействием и затратами на занимаемую площадь для некоторых значений модулей. В случае же реализации арифметики в кодах Д.А. Поспелова требуется оценивать проектирование сумматоров не только относительно базового модуля <math> p </math>, но и модуля <math> p-1 </math>, иначе теряется основная идея данного кодирования, а именно, однотипность оборудования.
+Следующая модификация кода Д.А. Поспелова развивает его идею однотипности.
+Развитие идеи однотипности состоит в том, чтобы аддитивные и мультипликативные операции модульной арифметики выполнялись не только аппаратно однотипно, но и однотипно в кодовом представлении операндов. Это достигается путем перехода от предствления компонент пар операндов по модулям <math> p </math>, и <math> p-1 </math> к однородному представлению по модулю <math> p-1 </math>.
+Введем понятие модифицированного вычета по модулю:
 = Ссылки =
 * [1] Поспелов Д.А. Арифметические основы вычислительных машин дискретного действия. М.: Высш. шк., 1970.

Бимодульная модулярная арифметика — различия между версиями

Версия 13:47, 28 мая 2014

Кодовая конструкция проф. Д.А. Поспелова

Модифицированная кодовая конструкция

Ссылки

Навигация

Персональные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Действия

Поиск

Навигация

Инструменты