Полиадический код — различия между версиями

Материал из Модулярная арифметики
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «'''Полиадический код''' (или система счисления со смешанным основанием от англ. [http://en.wikipedia…»)
 
Строка 10: Строка 10:
 
* Сравнения чисел
 
* Сравнения чисел
 
* Перевода чисел из системы остаточных классов в обычную позиционную систему счисления
 
* Перевода чисел из системы остаточных классов в обычную позиционную систему счисления
 +
 +
== Обратное преобразование ==
 +
 +
Обратное преобразование на базе полиадического кода, базируется на идее, что любое число X может быть представлено в системе взаимно простых чисел <math>p_1,\ldots, p_n</math>, как [1]:
 +
:<math>X = a_1 + a_2\cdot p_1 + a_3\cdot p_1\cdot p_2 + ... + a_{n-1}\cdot p_1\cdot p_2\cdot \ldots\cdot p_{n-2} + a_n\cdot p_1\cdot p_2\cdot \ldots\cdot p_{n-1}</math>, где <math>0 < a_i < p_i</math>
 +
* <math>|X|_{p_1} = x_1 = a_1</math>
 +
* <math>|X - a_1|_{p_2} = |x_2 - a_1|_{p_2} = |a_2\cdot p_1|_{p_2}</math> => a<sub>2</sub> = ((p<sub>1</sub><sup>-1</sup>)%p<sub>2</sub>*(x<sub>2</sub> - a<sub>1</sub>))%p<sub>2</sub></li>
 +
<li>(X - a<sub>1</sub> - a<sub>2</sub>*p<sub>1</sub>)%p<sub>3</sub> = (a<sub>3</sub>*p<sub>1</sub>*p<sub>2</sub>)%p<sub>3</sub> => a<sub>3</sub> = ((p<sub>2</sub><sup>-1</sup>)%p<sub>3</sub>*((p<sub>1</sub><sup>-1</sup>)%p<sub>3</sub>*(x<sub>3</sub> - a<sub>1</sub>) - a<sub>2</sub>))%p<sub>3</sub></li>
 +
<li>…</li>
 +
</ul>
 +
Для использования этого метода требуются константы вида (p<sub>i</sub><sup>-1</sup>)%p<sub>k</sub><sup>-1</sup>. Можно также заметить, что начинать вычисление a<sub>3</sub> можно, как только появилось значение a<sub>1</sub>. На основе этого метода можно строить конвеерные преобразователи.
 +
 +
== Ссылки ==
 +
[1] M. A. Soderstrand, W. K. Jenkins, G. A. Jullien and F. J. Taylor. 1986. Residue Number System Arithmetic: Modern Applications in Digital Signal Processing, IEEE Press, New York.

Версия 06:08, 15 июля 2013

Полиадический код (или система счисления со смешанным основанием от англ. associated mixed radix system (AMRS))

Любое число \{y_1,y_2,y_3,\ldots,y_n\} в системе остаточных классов может быть представленно в виде полиадического кода

X=\sum_{i=1}^Nx_iM_{i-1}=x_1+m_1(x_2+m_2(\cdots+m_{N-1}x_{N})\cdots),

где

M_0=1,M_i=\prod_{j=1}^i m_j для i>0 и 0\leq x_i<m_i.

Полиадический код используется для:

  • Сравнения чисел
  • Перевода чисел из системы остаточных классов в обычную позиционную систему счисления

Обратное преобразование

Обратное преобразование на базе полиадического кода, базируется на идее, что любое число X может быть представлено в системе взаимно простых чисел p_1,\ldots, p_n, как [1]:

X = a_1 + a_2\cdot p_1 + a_3\cdot p_1\cdot p_2 + ... + a_{n-1}\cdot p_1\cdot p_2\cdot \ldots\cdot p_{n-2} + a_n\cdot p_1\cdot p_2\cdot \ldots\cdot p_{n-1}, где 0 < a_i < p_i
  • |X|_{p_1} = x_1 = a_1
  • |X - a_1|_{p_2} = |x_2 - a_1|_{p_2} = |a_2\cdot p_1|_{p_2} => a2 = ((p1-1)%p2*(x2 - a1))%p2</li>
  • (X - a1 - a2*p1)%p3 = (a3*p1*p2)%p3 => a3 = ((p2-1)%p3*((p1-1)%p3*(x3 - a1) - a2))%p3
  • …

    • </ul> Для использования этого метода требуются константы вида (pi-1)%pk-1. Можно также заметить, что начинать вычисление a3 можно, как только появилось значение a1. На основе этого метода можно строить конвеерные преобразователи.

    Ссылки

    [1] M. A. Soderstrand, W. K. Jenkins, G. A. Jullien and F. J. Taylor. 1986. Residue Number System Arithmetic: Modern Applications in Digital Signal Processing, IEEE Press, New York.

    Источник — «https://vscripts.ru/w/index.php?title=Полиадический_код&oldid=502»