Версия 13:35, 28 мая 2014

Аддитивный характер вычислений в кольце вычетов $Z_p$ порождает дополнительные расходы на выполнение арифметических операций. Это обусловлено тем, что результат выполненной операции может выйти за диапазон $Z_p$ , тогда требуется корректировка результата, т.е. взятие результата выполненной операции по модулю. Мультипликативная операция над остатками x, y mod p более трудоемка, поэтому наиболее эффективным способом избежать прямой реализации мультипликативной операции является переход к индексам вычетов по основанию первообразного корня, однозначно связанных с данным модулярным кодом.

В случае индексной арифметики операция «+» выполняется за один такт модульного суммирования, а операция «*» за такт модульного суммирования и два такта табличной операции.

Кодовая конструкция проф. Д.А. Поспелова

Для того, чтобы сбалансировать выполнение модульных операций Д.А. Поспелов ввел представление исходных операндов в виде пар $<|x|_p, ind_w|x|_p>$ >, где $|x|_p$ есть вычет $x$ по модулю $p$ , $i = ind_w|x|_p$ - соответствующий вычету $|x|_p$ индекс, при этом условно считается, что вычету 0 соответствует специальный символ λ, который обладает свойством λ+i=i+λ для любого для любого индекса $0\le i\le p-2$ . Таким образом, все операции поля выполняются над парами: если требуется найти сумму двух операндов по модулю $p$ , то суммируются по модулю $p$ первые компоненты пар; для формирования второй компоненты пары результата этот результат преобразуется в индекс путем выборки значения из таблицы индексов (рис.1). Если требуется найти произведение двух операндов по модулю $p$ , то суммируются по модулю $p - 1$ вторые компоненты пар; для формирования первой компоненты пары результата этот результат преобразуется в антилогарифм (вычет) путем выборки значения из таблицы вычетов (рис.2):

Рис.1. Структурная схема операции сложения

Рис.2. Структурная схема операции умножения

Арифметику, построенную на парном представлении операндов, будем называть бимодульной арифметикой поля $GF(p)$ . Таким образом, операции сложения и умножения сведены к операциям сложения по модулю $p$ и модулю $p-1$ , соответственно, и одной табличной операции выбора второй компоненты пары результата. Такое решение позволяет сократить время выполнения мультипликативной операции на один такт табличной операции и площадь на хранение двух таблиц преобразования в индексы, размерность каждой таблицы $2(p-1)$ . При этом, Д.А. Поспелов утверждает [1, стр. 296], что, несмотря на то, что логика операции умножения по модулю $p$ стала более сложной, чем в обычной системе кода в остатках, выигрыш состоит в «однотипности оборудования для производства операций сложения и умножения». Данное утверждение справедливо в общем случае, когда сумматоры по модулям $p$ и $(p-1)$ проектируются по методу прямой логической реализации с использованием двоичных функциональных блоков. В этом случае суммирование по модулю $m$ для двух операндов $x$ и $y$ , находящихся в диапазоне ${0, 1,\ldots, m-1}$ , выполняется по следующей формуле:

${|x+y|}_m = \begin{cases} x+y, & \mbox{if } (x+y) < m ; \\ x+y-m, & \mbox{if } (x+y) \ge m. \end{cases}$

Модифицированная кодовая конструкция

Ссылки

[1] Поспелов Д.А. Арифметические основы вычислительных машин дискретного действия. М.: Высш. шк., 1970.

@@ Строка 7: / Строка 7: @@
 = Кодовая конструкция проф. Д.А. Поспелова =
-Для того, чтобы сбалансировать выполнение модульных операций Д.А. Поспелов ввел представление исходных операндов в виде пар  <math>  <|x|_p, ind_w|x|_p> </math>>, где  <math> |x|_p </math> есть вычет <math> x </math> по модулю <math> p </math>  ,  <math>  i = ind_w|x|_p </math> - соответствующий вычету  <math> |x|_p </math> индекс, при этом условно считается, что вычету 0 соответствует специальный символ λ, который обладает свойством λ+i=i+λ для любого для любого индекса <math> 0<=i<=p-2 </math> . Таким образом, все операции поля выполняются над парами: если требуется найти сумму двух операндов по модулю <math> p </math>, то суммируются по модулю <math> p </math> первые компоненты пар; для формирования второй компоненты пары результата этот результат преобразуется в индекс путем выборки значения из таблицы индексов (рис.1). Если требуется найти произведение двух операндов по модулю <math> p </math>, то суммируются по модулю <math> p - 1 </math> вторые компоненты пар; для формирования первой компоненты пары результата этот результат преобразуется в антилогарифм (вычет) путем выборки значения из таблицы вычетов (рис.2):
+Для того, чтобы сбалансировать выполнение модульных операций Д.А. Поспелов ввел представление исходных операндов в виде пар  <math>  <|x|_p, ind_w|x|_p> </math>>, где  <math> |x|_p </math> есть вычет <math> x </math> по модулю <math> p </math>  ,  <math>  i = ind_w|x|_p </math> - соответствующий вычету  <math> |x|_p </math> индекс, при этом условно считается, что вычету 0 соответствует специальный символ λ, который обладает свойством λ+i=i+λ для любого для любого индекса <math> 0\le i\le p-2 </math> . Таким образом, все операции поля выполняются над парами: если требуется найти сумму двух операндов по модулю <math> p </math>, то суммируются по модулю <math> p </math> первые компоненты пар; для формирования второй компоненты пары результата этот результат преобразуется в индекс путем выборки значения из таблицы индексов (рис.1). Если требуется найти произведение двух операндов по модулю <math> p </math>, то суммируются по модулю <math> p - 1 </math> вторые компоненты пар; для формирования первой компоненты пары результата этот результат преобразуется в антилогарифм (вычет) путем выборки значения из таблицы вычетов (рис.2):
@@ Строка 18: / Строка 18: @@
 Таким образом, операции сложения и умножения сведены к операциям сложения по модулю <math> p </math> и модулю <math> p-1 </math>, соответственно, и одной табличной операции выбора второй компоненты пары результата. Такое решение позволяет сократить время выполнения мультипликативной операции на один такт табличной операции и площадь на хранение двух таблиц преобразования в индексы, размерность каждой таблицы <math>2(p-1)</math>. При этом, Д.А. Поспелов утверждает [1, стр. 296], что, несмотря на то, что логика операции умножения по модулю <math> p </math> стала более сложной, чем в обычной системе кода в остатках, выигрыш состоит в «однотипности оборудования для производства операций сложения и умножения». Данное утверждение справедливо в общем случае, когда сумматоры по модулям <math> p </math> и <math> (p-1) </math> проектируются по методу прямой логической реализации с использованием двоичных функциональных блоков. В этом случае суммирование по модулю <math> m </math> для двух операндов <math> x </math> и <math> y </math>, находящихся в диапазоне <math>{0, 1,\ldots, m-1}</math>, выполняется по следующей формуле:
+:<math>{|x+y|}_m = \begin{cases}
+  x+y, & \mbox{if } (x+y) < m ; \\
+  x+y-m,  & \mbox{if } (x+y) \ge m.
+\end{cases}
+</math>
 = Модифицированная кодовая конструкция =

Бимодульная модулярная арифметика — различия между версиями

Версия 13:35, 28 мая 2014

Кодовая конструкция проф. Д.А. Поспелова

Модифицированная кодовая конструкция

Ссылки

Навигация

Персональные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Действия

Поиск

Навигация

Инструменты