Система остаточных классов — различия между версиями

Материал из Модулярная арифметики
Перейти к: навигация, поиск
(→‎Основные определения)
Строка 1: Строка 1:
−
Система остаточных классов используется для представления больших чисел N, обеспечивая таким образом более эффективные вычисления. В основе данного представления лежит изоморфизм <math>\mathbb{Z}/m_1\cdot\ldots\cdot m_n\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}/m_1\times\ldots\times\mathbb{Z}/m_n</math> , который доставляет китайская теорема об остатках.
+
Система остаточных классов используется для представления больших чисел <math>N</math>, обеспечивая таким образом более эффективные вычисления. В основе данного представления лежит [http://ru.wikipedia.org/wiki/Изоморфизм= изоморфизм] <math>\mathbb{Z}/m_1\cdot\ldots\cdot m_n\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}/m_1\mathbb{Z}\times\ldots\times\mathbb{Z}/m_n\mathbb{Z}</math> , который доставляет [http://ru.wikipedia.org/wiki/Китайская_теорема_об_остатках= китайская теорема об остатках].
  
 
== Основные определения ==
 
== Основные определения ==

Версия 09:59, 28 января 2013

Система остаточных классов используется для представления больших чисел N, обеспечивая таким образом более эффективные вычисления. В основе данного представления лежит изоморфизм \mathbb{Z}/m_1\cdot\ldots\cdot m_n\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}/m_1\mathbb{Z}\times\ldots\times\mathbb{Z}/m_n\mathbb{Z} , который доставляет китайская теорема об остатках.

Основные определения

Системой остаточных классов называют произвольное конечное множество \{m_1,\ldots ,m_n\}\subset\mathbb{N}, такое что \gcd\limits_{i\ne j}(m_i,m_j)=1, где n\in\mathbb{N}. Пусть задана произвольная система остаточных классов \{m_1,\ldots ,m_n\} и положим, что M=\prod\limits_{i=1}^{n}m_i. Тогда в силу китайской теоремы об остатках имеем эпиморфизм колец \varphi: \mathbb{Z}\to\prod\limits_{i=1}^{n}\mathbb{Z}/m_i\mathbb{Z}, т.ч. \operatorname{Ker}\varphi=M\mathbb{Z}, который индуцирует канонический изоморфизм \mathbb{Z}/M\mathbb{Z}\cong\prod\limits_{i=1}^{n}\mathbb{Z}/m_i\mathbb{Z}.

Выполнение арифметических операций

С использованием системы остаточных классов можно выполнять основные арифметические операции.

Сложение и вычитание

Пусть A,B- произвольные натуральные числа. Положим, что A,B представляются в виде системы остаточных классов как (a_1,\ldots ,a_n) и (b_1,\ldots b_n) соответственно. Формально, \varphi^{-1}(a_1,\ldots ,a_n)=A, \varphi^{-1}(b_1,\ldots b_n)=B. В силу того, что \varphi- изоморфизм будем иметь \varphi^{-1}((a_1,\ldots ,a_n)+(b_1,\ldots b_n))=\varphi^{-1}(a_1,\ldots ,a_n)+\varphi^{-1}(b_1,\ldots b_n). Обозначим через C остаток A+B от деления на M. Тогда C представляется в виде системы остаточных классов как (a_1+b_1,\ldots ,a_n+b_n).

Умножение

D- остаток от деления A\cdot B на M. Тогда D представляется в виде системы остаточных классов как (a_1b_1,\ldots ,a_nb_n).

Деление

Деление A на B с использованием системы остаточных классов можно выполнять не всегда. Положим, что E- остаток AB^{-1} от деления на M. На языке теории колец это означает, что b_i,1\le i\le n обратим и b_i^{-1}- обратный. Тогда AB^{-1} представляется в виде (a_1b_1^{-1},\ldots ,a_nb_n^{-1}).

Факторизация полупростых чисел

Пусть X=Y\cdot Z- полупростое число. Рассмотрим систему остаточных классов p_i,\ldots, p_N, где p_i— i-е простое число.


Литература

  1. Шаблон:Книга
Источник — «https://vscripts.ru/w/index.php?title=Система_остаточных_классов&oldid=91»