Представление числа в системе остаточных классов

Представление чисел в виде набора остатков от деления на выбранные натуральные модули - основания системы называется системой остаточных классов - СОК (residue number system - RNS) или модулярной системой счисления - МСС (modular system).

Такие системы счисления являются непозиционными кодами с параллельной структурой, которые позволяют реализовать идею распараллеливания операций на уровне выполнения элементарных арифметических действий.

Пусть заданы положительные числа $p_1, p_2,\ldots , p_n$, которые называют основаниями или модулями системы. Обозначим $p= p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_n$.

Эта величина характеризует объём диапазона системы. Под системой остаточных классов понимают такую непозиционную систему счисления, в которой целое неотрицательное число А можно представить в виде набора остатков от деления этого числа на выбранные основания системы, т. е. $A = a_1, a_2 , \ldots , a_n$, где $a_i = A-[ \frac {A}{p_i}]\cdot p_i, i=1,\ldots ,n$.

Возможность такого представления числа определяется теоремой о делении с остатком в кольце целых чисел. Напомним формулировку этой теоремы (в обозначениях этого раздела).

Теорема

Если $A\in Z, p\in Z, p\neq 0$, то существуют единственные $q\in Z, a\in Z$, такие, что $A=qp+a, 0 \le a < |p|, q=[\frac {A}{p}]$.

Несложно заметить, что каждый остаток $a_i$ получается независимо от других и содержит информацию обо всём числе. Установить взаимно-однозначное соответствие между целыми числами из диапазона $[0, P)$ и их остатками позволяет китайская теорема об остатках. Возможность применения СОК в вычислительных алгоритмах обуславливается наличием определённого изоморфизма между математическими операциями над целыми числами и соответствующими операциями над системой целых неотрицательных остатков по отдельным модулям. Причём сложение, умножение, возведение в целую положительную степень любых целых положительных чисел совершенно идентичны соответствующим операциям, выполняемым над системой остатков.

Пусть операнды $A$ и $B$, а также результаты операций сложения и умножения $A+B$ и A\cdot B</math> представлены соответственно остатками

$a_i, b_i, c_i, d_i$ по основаниям $p_i, i=1,|ldots,n$, причём оба числа и результаты находятся в диапазоне $[0, P)$, то есть

$A=(a_1, a_2, \ldots , a_n)$,

$B=(b_1, b_2, \ldots , b_n)$,

$A+B=(c_1, c_2, \ldots , c_n)$,

$D=(d_1, d_2, \ldots , d_n)$,

и

$0\le A<P$, $0\le B<P$, $0\le A+B<P$, $0\le A\cdot B<P$.

Эти выражения можно переписать в виде

$c_i=a_i+b_i\pmod{p_i}$; $d_i=a_i\cdot b_i\pmod{p_i}$;

$c_i=a_i+b_i - [\frac{a_i+b_i}{p_i}]$; $d_i=a_i\cdot b_i - [\frac{a_i\cdot b_i}{p_i}]$;

Справедливость этих правил выполнения арифметических действий в СОК непосредственно вытекает из свойств сравнения.