Полиадический код

Введение

Полиадический код (или система счисления со смешанным основанием от англ. associated mixed radix system (AMRS))

Любое число $\{y_1,y_2,y_3,\ldots,y_n\}$ в системе остаточных классов может быть представленно в виде полиадического кода

$X=\sum_{i=1}^Nx_iM_{i-1}=x_1+m_1(x_2+m_2(\cdots+m_{N-1}x_{N})\cdots),$

где

$M_0=1,M_i=\prod_{j=1}^i m_j$ для $i>0$ и $0\leq x_i<m_i.$

Полиадический код используется для:

• Сравнения чисел
• Перевода чисел из системы остаточных классов в обычную позиционную систему счисления

Обратное преобразование

Обратное преобразование на базе полиадического кода, базируется на идее, что любое число X может быть представлено в системе взаимно простых чисел $p_1,\ldots, p_n$, как [1]:

$X = a_1 + a_2\cdot p_1 + a_3\cdot p_1\cdot p_2 + ... + a_{n-1}\cdot p_1\cdot p_2\cdot \ldots\cdot p_{n-2} + a_n\cdot p_1\cdot p_2\cdot \ldots\cdot p_{n-1}$, где $0 < a_i < p_i$

• $|X|_{p_1} = x_1 = a_1$
• $|X - a_1|_{p_2} = |x_2 - a_1|_{p_2} = |a_2\cdot p_1|_{p_2}$ => $a_2 = ||p_1^{-1}|_{p_2}\cdot (x_2 - a_1)|_{p_2}$
• $|X - a_1 - a_2\cdot p_1|_{p_3} = |a_3\cdot p_1 \cdot p_2|_{p_3}$ => $a_3 = ||p_2^{-1}|_{p_3} \cdot (|p_1^{-1}|_{p_3} \cdot (x_3 - a_1) - a_2)|_{p_3}$
• $a_4 = ||p_3^{-1}|_{p_4} \cdot (|p_2^{-1}|_{p_4} \cdot (|p_1^{-1}|_{p_4} \cdot (x_3 - a_1) - a_2) - a_3)|_{p_4}$
• ...
• $a_n = ||p_{n-1}^{-1}|_{p_n} \cdot (|p_{n-2}^{-1}|_{p_n} \cdot ( ... |p_2^{-1}|_{p_n} \cdot (|p_1^{-1}|_{p_n} \cdot (x_n - a_1) - a_2) - ...) - a_{n-1}|_{p_n}$

Для использования этого метода требуются константы вида $|p_i^{-1}|_{p_k}$. Можно также заметить, что начинать вычисление $a_3$ можно, как только появилось значение $a_1$. На основе этого метода можно строить конвейерные преобразователи.

Конвейерный преобразователь в полиадический код

Используя формулы выше можно нарисовать схему конвейерного преобразователя. В данном случае мы используем модулярный базис из 4 элементов:

• ROMij - это таблица выполняющая следующее преобразование $r = |(p - q) \cdot p_j^{-1}|_{p_i}$. Для больших значений модулей таблица может быть заменена на последовательный набор арифметических операций (вычитание, умножение на константу и взятие модуля)
• LATCH - элемент памяти сохраняющий значение до следующего такта
• На преобразование модулярного представления в полиадический код требуется N-1 ступеней конвейера.

Обратный конвейерный преобразователь на базе полиадического кода

Этот преобразователь используется для восстановления числа $X$ из модулярного кода, заданного набором остатков $(x1, x2, x3, x4)$.

• ROMij - это таблица выполняющая следующее преобразование $r = |(p - q) \cdot p_j^{-1}|_{p_i} \cdot (p_1\cdot p_2 \cdot ... \cdot p_{i-1})$. Для больших значений модулей таблица может быть заменена на последовательный набор арифметических операций (вычитание, умножение на константу и взятие модуля)
• LATCH - элемент памяти сохраняющий значение до следующего такта
• SUM - обычный сумматор
• На преобразование модулярного представления в позиционный вид требуется N ступеней конвейера.
• В отличие от преобразования в полиадический код, данный преобразователь получается более громоздким из-за более сложной структуры ROMij и наличия сумматоров, битовый размер которых растет в нижней части конвейера.

Коррекция ошибок на базе полиадического кода

Пусть задан набор модулей $(p_1, p_2, p_3, p_4)$, где $(p_1 < p_2 < p_3 < p_4)$. Из них первые два $(p_1, p_2)$ являются информационными, а последние два $(p_3, p_4)$ - проверочными.

Ссылки

• [1] M. A. Soderstrand, W. K. Jenkins, G. A. Jullien and F. J. Taylor. 1986. Residue Number System Arithmetic: Modern Applications in Digital Signal Processing, IEEE Press, New York.
• [2] Патент "Efficient structure for computing mixed-radix projections from residue number systems"