Содержание

1 Принцип рекурсивных модулярных вычислений
- 1.1 Пример
2 Представление данных и основные операции рекурсивной модулярной арифметики

Принцип рекурсивных модулярных вычислений

Рекурсивная модулярная арифметика основана на принципе глубокого распараллеливания модульных операций модулярной арифметики с основаниями $p_1,p_2,\ldots,p_n$ посредством сведения модульных операций по каждому рабочему основанию $p_j$ , $i<=j<=n$ к модульным вычислениям по предшествующим рабочим основаниям $p_1,p_2,\ldots,p_{i-1}$ , имеющим то или иное технологическое преимущество (например, малобитным), которые называются базисными основаниями. Такая редукция допустима только при выполнении так называемого условия согласования вычислительных диапазонов по каждому рабочему модулю $p_j$ с вычислительными диапазонами по соответствующим комплексам базисных оснований. Принцип согласования гарантирует, во-первых, изоморфизм кольцевых операций по соответствующим им комплексам базисных оснований, и во-вторых, выполнимость обращения каждого шага рекурсии посредством перевода соответствующих модулярных кодов по базисным основаниям в позиционный код (например, на основе китайской теоремы об остатках, или переводом их в полиадический код). Несмотря на ограничения, которые накладываются на систему модулей, предложенный метод обеспечивает выигрыш по скорости и может быть применен в параллельных высокоскоростных вычислительных устройствах.

Пример

Поясним процедуру рекурсивных преобразований на простом примере. Возьмем в качестве базисных модулей двухбитные простые числа $p_1=2, p_2=3$ . Очевидно, что вычетами по модулям 2 и 3 можно однозначно представить любой вычет по модулю 5. В то же время вычетами по модулям 2, 3 и 5, где вычеты по модулю 5 представимы по модулям 2 и 3, можно однозначно представить любой вычет по модулю 29. Вычетами по модулям 2, 3, 5 и 29 можно однозначно представить любой вычет по модулю 863. И так далее пока не получим нужный набор рабочих оснований: 2, 3, 5, 29, 863,… Данный пример наглядно иллюстрирует 4 факта:

1) Аппаратные и временные затраты на представление чисел по базовым модулям 2 и 3 примерно одинаковы (оба базисных модуля двухбитные);

2) Наблюдается более высокая степень распараллеливаемости;

3) Появляется регулярность (все вычисления проводятся по модулям 2 и 3);

4) Столь малая разрядность базовых модулей позволяет эффективно реализовать модульные операции по базисным модулям в комбинационных схемах.

Однако имеется ряд ограничений, которые должны быть выполнены и которые приводят к усложнению устройств, созданных по данной методике. Рассмотрим эти ограничения.

Пусть есть система базисных модулей $p_1,p_2,\ldots,p_m$ и необходимо представить вычеты по модулю $p_{m+1}$ через вычеты по этой системе базовых модулей. Очевидно, что максимальный вычет по модулю $p_{m+1}$ равен $max=p_{m+1}-1$ . Зная это значение и последовательность выполняемых операций, можно рассчитать максимальное значение $MAX$ результата арифметической операции. Очевидно, что для однозначного представления результата арифметических операций необходимо, чтобы $MAX<Q$ , где $Q=p_1\cdot p_2\cdot \ldots \cdot p_m$ . Для остальных модулей расчет производится аналогично.

Для примера с базовыми модулями 2 и 3 $Q=2\cdot 3 = 6$ . Наименьшее простое число (после 2 и 3) - это 5, следовательно, $max=4$ . Нельзя выполнить ни операцию сложения, т.к. $2\cdot max > Q$ $(8 > 6)$ , ни, тем более, операцию умножения, т.к. $max^2 > Q$ $(16 > 6)$ . Чтобы выполнять любую из арифметических операций (сложение или умножение) надо увеличить число $Q$ (т.е. увеличить значения базисных модулей и/или их количество).

Возьмем в качестве базисных модулей все взаимно простые трехбитные числа: 4, 5 и 7. В этом случае $Q=4\cdot 5\cdot 7=140$ .

Таким образом, выбираем $p_{i} = 11$ (ближайшее к 7 простое число). Далее совокупность рабочих модулей строится с помощью аналогичного расчета, пока не будет достигнут требуемый вычислительный диапазон.

Наконец, рассмотрим реальный случай. Пусть нам нужно реализовать преобразователь Фурье для 24-битных аргументов при количестве точек 1024. Для этого потребуется вычислять сумму 1024 произведений, т.е. обеспечить $1024 \cdot max^2 < Q$ . Здесь уже не обойтись системой только трехбитных базисных модулей. Добавим к ним четырехбитные: 5, 7, 8, 9, 11 и 13 (Q = 360360). Для выбора ближайшего рабочего модуля необходимо $\sqrt \frac{Q}{1024}$ .

Получаем $p_{i}-1 < 32$ . Выбираем $p_{i} = 31$ .

Аналогичным расчетом реализуем рекурсивное дерево рабочих оснований целиком. Чтобы сделать такое устройство, нужно спроектировать блок из 6 вычислителей (для каждого базисного модуля) и таких блоков нужно будет 16. Вот где работает регулярность. Заметим, что все вычислители будут иметь высокую скорость модульных операций (суперраспараллеливание) и небольшие аппаратные затраты в силу малости базисных модулей или их близости к степеням двойки.

Таким образом, предложенный аппарат рекурсивных модулярных вычислений дает следующие преимущества:

1. Устранение дисбаланса в операциях с малыми и большими модулями (аппаратные и временные затраты примерно одинаковы, т.к. в идеале все базисные модули имеют одинаковое число бит).

2. Существенно более высокая степень распараллеливаемости, а значит и более высокое быстродействие.

3. Появляется регулярность (большое количество одинаковых базисных модулей).

4. Малая разрядность базисных модулей позволяет реализовать модульные операции на комбинационных схемах, оптимизированных в базисе булевых функций.

Представление данных и основные операции рекурсивной модулярной арифметики

Идея, на которой базируется рекурсивная модулярная арифметика: выразить систему модулей через систему субмодулей, имеющую меньшую размерность.

Пусть задана система модулей $p_1, p_2, \ldots, p_i, \ldots , p_n$ и задан некоторый вектор $A = (a_1, a_2, \ldots , a_n)$ . Выразим $a_i$ через систему субмодулей

$p_i = (p_{i,1}, p_{i,2}, \ldots , p_{i,k})$ , где $P_i = p_{i,1}, p_{i,2}, \ldots , p_{i,k}$ и $a_i < P_i$ : $a_i = (a_{i,1}, a_{i,2}, \ldots , a_{i,k})$ .

В этом случае вектор A можно представить в следующем виде:

$(a_1, a_2, \ldots , a_{i-1}, (a_{i,1}, a_{i,2}, \ldots , a_{i,k}), a_{i+1}, \ldots , a_n)$ , см. рис. 1.

Назовем систему из m младших модулей системой базовых модулей, а их произведение обозначим $Q = (p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_m)$ .

Пусть $P_{i,1} = p_i, p_{i,2} = p_2, \ldots , p_{i,i-1} = p_{i-1}$ , а $k = i-1$ , тогда при $i = m+1, \ldots , n$ имеет место рекурсия. $a_i = (a_1, a_2, \ldots , a_m, a_{m+1}, \ldots , a_{i-1})$ по системе модулей $p_1, p_2, \ldots , p_m, p_{m+1}, \ldots , p_{i-1}$ или, раскрывая рекурсию: $a_i = (a_1, a_2, \ldots , a_m, (a_{m+1,1}, a_{m+1,2}, \ldots , a_{m+1,m} ), \ldots)$ . На рис.2 приведен частный случай разложения элемента $a_i$ для случая $n=6$ и $m=3$ .

Прямое преобразование числа из позиционной системы счисления в представление рекурсивной модулярной арифметики

Если в традиционной модулярной арифметике число элементов вектора равно числу элементов в системе модулей, то в рекурсивной модулярной арифметике количество элементов вектора увеличивается в зависимости от заданных $n$ и $m$ . Очевидно, что каждый из первых $m$ элементов представляется в виде одного числа. $(m+1)$ -й элемент содержит $m$ элементов, поскольку выражается через $m$ элементов системы субмодулей:

$a_{m+1} = (a_{m+1,1}, a_{m+1,2}, \ldots , a_{m+1,m})$ .

$(m+2)$ -й элемент содержит $2 \cdot m$ элементов, поскольку выражается через $m$ элементов системы субмодулей и $m$ элементов вектора $a_{m+1}$ . Таким образом, продолжая рассуждения, можно заключить, что число элементов $L_i$ для вектора $a_i$ может быть выражено следующей формулой:

$L_i = \begin{cases} 1, & \mbox{if } i \le m ; \\ 2^{i-m-1} \cdot m, & \mbox{if } m<i<n \end{cases}$

Общее же число элементов $L$ вектора $A$ можно рассчитать, воспользовавшись формулой суммы геометрической прогрессии:

$L = \sum_{i=1}^{n} L_i = m+m \cdot (2^0+2^1+ \ldots +2^{n-m+1}) = m \cdot (1+ \frac{2^{n-m}-1}{2-1}) = 2^{n-m} \cdot m$

Рассмотрим численный пример. Пусть задана система модулей: $(p_1, p_2, p_3, p_4, p_5) = (2,3,5,29,863)$ . $P = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 29 \cdot 863 = 750810$ . Также необходимо убедиться что $2 \cdot 3 >5, 2 \cdot 3 \cdot 5 >29$ , $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 29 >863$ .

Выберем систему базовых модулей $(p_1, p_2)$ . В этом случае $Q = p_1 \cdot p_2 = 6$ , $n = 5, m = 2$ . Число элементов вектора $L = 2^3 \cdot 2 = 16$ .

Разложим число $A = 865$ , заданное в позиционной системе счисления в вектор по обычному базису.

$A = ( |865|_2, |865|_3, |865|_5, |865|_29, |865|_863 ) = ( 1, 1, 0, 24, 2 )$ .

Теперь разложим число $A$ по рекурсивному базису:

$A = ( |865|_2, |865|_3, ( | |865|_5|_2, | |865|_5|_3 ),$

$( | |865|_29|_2, | |865|_29|_3 , ( | | |865|_29|_5|_2, | | |865|_29|_5|_3 ) ) ,$

$( | |865|_863|_2, | |865|_863|_3 , ( | | |865|_863|_5|_2, | | |865|_863|_5|_3 ) ) ,$

$( | | |865|_863|_29|_2, | |865|_863|_29|_3 ,$

$( | | | |865|_863|_29|_5|_2, | | | |865|_863|_29|_5|_3 ) ) ) )$ .

Поскольку все числа в этом векторе не превышают 3, то для хранения вектора потребуется 16*2=32 бит вместо 20 бит для хранения числа в позиционной системе счисления. Степень избыточности составит 1.6. Иллюстрацию к примеру смотрите на рисунке 3.

Ограничения на выбор базиса

Максимальное значение, которое можно представить с помощью $P_{m+1}$ , равно $max = p_{m+1} - 1$ . Чтобы была возможность выполнять арифметические операции над числами, требуется, чтобы результат операции для $p_{m+1}$ -го элемента был меньше $Q = (p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_m)$ .Для сложения это будет $2 \cdot max$ , а для умножения - $max^2$ . Рассмотрим следующий пример. Пусть задан базис $(2, 3, 5)$ . Выберем систему базовых модулей $(2, 3)$ . В этом случае $Q = 2 \cdot 2 = 6$ , $max = 4$ . Поскольку для сложения потребуется максимально представимое число 8, что больше 6, а для умножения 16, что тоже больше 6, то в таком базисе можно выполнять взаимно-однозначное разложение чисел, но для базовых арифметических операций он не подходит. Для реальных задач требуется увеличение числа $Q$ . Как именно выбирать элементы базиса? Рассмотрим следующий пример. Пусть задана система базовых модулей $(4, 5, 7)$ . Требуется определить $p_4$ таким образом, чтобы в рамках полученного рекурсивного базиса можно было использовать операцию умножения.