Вычисление мультипликативных обратных элементов по заданному модулю

Рассмотрим вопрос о мультипликативных обратных элементов по заданному модулю в фактор-кольце $Z_p$.

Рассмотрим два способа вычисления обратных мультипликативных элементов. Первый способ основан на рассмотренном выше алгоритме Евклида, второй – на теореме Эйлера.

Определение

Функция Эйлера $phi (n)$ — это количество чисел от $1$ до $n$, взаимно простых с $n$.

Т.е. это количество таких натуральных чисел из отрезка [1; n], наибольший общий делитель (НОД) которых с $n$ равен единице.

Tеоремa Эйлера

Если $a$ и $p$ взаимно просты, то $a^{phi(p)} \equiv 1 \pmod p$, где $phi (n)$ - функция Эйлера.

Доказательство теоремы достаточно простое, возможны различные варианты. Приведем здесь теоретико-числовое доказательство.

Доказательство.

Пусть $x_1, \dots, x_{phi(p)}$ — все различные натуральные числа, меньшие $p$ и взаимно простые с ним.

Рассмотрим все возможные произведения $x_i a$ для всех $i$ от $1$ до $\varphi(p)$.

Поскольку $a$ взаимно просто с $p$ и $x_i$ взаимно просто с $p$, то и $x_i a$ также взаимно просто с $p$, то есть $x_i a \equiv x_j\pmod p$ для некоторого $j$.

Отметим, что все остатки $x_i a$ при делении на $p$ различны. Действительно, пусть это не так, то существуют такие $i_1 \neq i_2$, что

$x_{i_1} a \equiv x_{i_2} a\pmod p$

или

$(x_{i_1} - x_{i_2}) a \equiv 0\pmod p$.

Так как $a$ взаимно просто с $p$, то последнее равенство равносильно тому, что

$x_{i_1} - x_{i_2} \equiv 0\pmod p$ или $x_{i_1} \equiv x_{i_2}\pmod p$.

Это противоречит тому, что числа $x_1, \dots, x_{phi(p)}$ попарно различны по модулю $p$.

Перемножим все сравнения вида $x_i a \equiv x_j\pmod p$. Получим:

$x_1 \cdots x_{phi(p)} a^{phi(p)} \equiv x_1 \cdots x_{phi(p)}\pmod p$

или

$x_1 \cdots x_{phi(p)} (a^{phi(p)}-1) \equiv 0\pmod p$.

Так как число $x_1 \cdots x_{phi(p)}$ взаимно просто с $p$, то последнее сравнение равносильно тому, что

$a^{phi(p)}-1 \equiv 0\pmod p$

или

$a^{phi(p)} \equiv 1\pmod p$.

В частном случае, когда $p$ простое, теорема Эйлера превращается в так называемую малую теорему Ферма:

Малая теорема Ферма

Если $p$ - простое число и $a$ - произвольное целое число, не делящееся на $p$, то $a^{p-1} \equiv 1 \pmod p$.