Вычет по комплексному модулю

По аналогии с вычетом целого числа по целому числу, можно определить вычет для комплексных переменных.

Вычет целого числа по целому модулю

Пусть заданы два целых положительных числа ${x}$ и ${p}$. Справедливо равенство: $x = \lfloor\frac{x}{p}\rfloor\cdot{p} + |x|_p$.

$\lfloor\frac{x}{p}\rfloor$ - наибольшее целое число от деления ${x}$ на ${p}$.

$|x|_p$ - в данном равенстве и есть вычет.

Вычет комплексного числа по комплексному модулю

Пусть $w$ – фиксированное целое комплексное число $w=a+bj\in{CZ}$ с нормой $p=a^2+b^2$. Пусть $z=x+yj$ – произвольное целое комплексное число.

Проведем следующие преобразования: $z = \frac{z\cdot{p}}{p} = \frac{z\cdot{w}\cdot{\overline{w}}}{p} = \frac{z\cdot{\overline{w}}}{p}\cdot {w} = \frac{\lfloor\frac{z\cdot{\overline{w}}}{p}\rfloor\cdot{p} + |{z}\cdot{\overline{w}}|_p}{p}\cdot{w} = \lfloor\frac{z\cdot{\overline{w}}}{p}\rfloor + \frac{|{z}\cdot{\overline{w}}|_p\cdot{w}}{p}$

Назовем второй член получившегося выражения вычетом комплексного числа по комплексному переменному и обозначим:

$\langle{z}|_w = \frac{|{z}\cdot{\overline{w}}|_p\cdot{w}}{p}$

Для преобразований используются следующий свойства:

• $\overline{w} = a-bj$ - сопряженное к ${w}$ комплексное число.
• $p = {w}\cdot{\overline{w}}$