Разработка модулярного КИХ фильтра на базе теоретико-числового БПФ

Цель настоящей работы состояла в том, чтобы разработать модулярный КИХ фильтр с постоянными коэффициентами, базируясь на идее "Теоремы о Свертке" и ее аналога в конечном поле Галуа.

Краткое теоретическое обоснование

Фильтр с конечной импульсной характеристикой, по своей сути, является ни чем иным, как линейной сверткой входной последовательности некоторых цифровых отсчетов с последовательностью коэффициентов фильтра. Фильтры могут быть с фиксированными и изменяемыми коэффициентами. Задача выбора тех или иных коэффициентов фильтра - сложная, и в нашей работе не рассматривается. В настоящее время существует большое количество программных продуктов, которые позволяют рассчитывать коэффициенты фильтра для различных задач.

Абстрагируясь от значений коэффициентов, обратимся непосредственно к вычислению линейной свертки. Формула для ее вычисления выглядит следующим образом:

$s(n)=a*b=\sum_{m=0}^{n}a(m)*b(n-m)$, $n=0$ ... $N+M-2$

Архитектуры для вычисления линейных сверток могут быть совершенно различными. Выделяют несколько типов архитектур.

• Последовательная
• Параллельная
• Последовательно-параллельная

Последовательная схема характеризуется малым числом вычислительных блоков, интенсивным обменом с памятью и низкой производительностью. В крайнем проявлении эта схема представляет собой умножитель с накоплением и управляющее устройство, которое обеспечивает загрузку нужных коэффициентов из памяти. В этом случае, для нахождения одного выходного отсчета требуется $N$ тактов. Этот метод реализуется программным методом на сигнальных процессорах или компьютерах общего назначения.

В случае, если производительности DSP процессора не хватает, то фильтр реализуют аппаратно, используя параллельные архитектуры. Параллельные схемы эксплуатируют метод конвееризации, разделяя этапы конвейера регистрами. Каноническая форма КИХ фильтра выглядит следующим образом:

Преимущества данной архитектуры - это ее быстродействие и возможность работы в реальном времени. К минусам можно отнести значительное увеличение аппаратурных затрат.

Кроме реализаций во временной области, возможна также реализация в частотной области. Базисом для этого является так называемая Теорема о Свертке. Спектр циклической свертки есть произведение спектров сворачиваемых сигналов: $S(k)=A(k)*B(k)$. Где $A(k)$ и $B(k)$ - спектры сворачиваемых сигналов, $S(k)$ - спектр циклической свертки двух сигналов.

Таким образом, вместо того чтобы реализовывать свертку непосредственно по формуле, можно перевести сигналы в частотную область с помощью БПФ, там почленно перемножить, и перевести обратно. Результат будет соответствовать циклической свертке [статья в ростове]. Дополняя нулями последовательности, вычисление циклической свертки станет эквивалентно вычислению искомой линейной свертки. Преимуществом этого метода является сокращение операций. Действительно, используя быстрые схемы преобразования Фурье, мы тратим лишь $n*lg(n)$ операций, что дает выигрых при больших значениях $n*$.