Описание работы универсального прямого преобразователя

Содержание

1 Описание работы универсального прямого преобразователя из позиционного представления в модулярный код
2 Постановка задачи
3 Специальные случаи
4 Общий случай
- 4.1 Численный пример
- 4.2 Verilog-код для численного примера

Описание работы универсального прямого преобразователя из позиционного представления в модулярный код

Постановка задачи

Требуется реализовать микроэлектронное устройство выполняющее преобразование из позиционного представления в модулярный код. Разработку будем вести на языке Verilog. Пусть задано входное число $X$ в позиционном виде разрядности $N$ -бит. Требуется найти остаток от его деления (вычет) на каждое число из набора, образующих модулярный базис ${p1, p2, ... pN}$ . Так как алгоритм вычисления остатков будет одинаков для каждого из них, то рассмотрим произвольное число из набора $p$ размерности $k$ -бит.

Схема этого блока с входами и выходами:

Здесь:

$0 \le X < 2^N$
$0 \le OUT < p$
$p$ - константа заданная на этапе проектирования

Специальные случаи

При некоторых соотношениях между входными данными и заданным p, модуль взятия остатка от деления можно реализовать простейшим образом. Рассмотрим такие случаи:

Модуль больше входных данных

$p > 2^N$ - в этом случае выходные данные совпадают с входными, то есть $OUT = X$ .

module forward_conv_module_23 (in, out);

```
	input [3:0] in; // Max value: 15
```
```
	output [4:0] out; // Max value: 22
```
```
	assign out = {1'd0,in[3:0]};
```
```
endmodule
```

Модуль равен степени двойки

$p = 2^t$ - в этом случае выходные данные равны младшим t-бит входных данных, то есть $OUT = X[t:0]$ .

module forward_conv_module_16 (out0, in);

```
	output [3:0] out0; // Max value: 15
```
```
	input [7:0] in; // Max value: 255
```
```
	assign out0 = in[3:0];
```
```
endmodule
```

N незначительно превосходит разрядность модуля

В этом случае достаточно проверить в какой из диапазонов вида $[0;p), [p;2 \cdot p), [2 \cdot p;3 \cdot p), ...$ попадает $X$ и вычесть из него поправочный коэффициент, соответствующий диапазону. $0$ для $[0;p)$ , $p$ для $[p;2 \cdot p)$ , $2 \cdot p$ для $[p;2 \cdot p)$ и.т.д.

```
module mod_253_511 (in, out);
```
```
	input [8:0] in;
```
```
	output reg [7:0] out;
```
```
	always @ (in)
```
```
	begin
```
```
		if (in < 8'd253)
```
```
		begin
```
```
			out = in;
```
```
		end
```
```
		else if (in < 9'd506)
```
```
		begin
```
```
			out = in - 8'd253;
```
```
		end
```
```
		else
```
```
		begin
```
```
			out = in - 9'd506;
```
```
		end
```
```
	end
```
```
endmodule
```
```
 
```

module forward_conv_module_253 (in, out);

```
	input [8:0] in; // Max value: 511
```
```
	output [7:0] out; // Max value: 252
```
```
	mod_253_511 inst(in, out);
```
```
endmodule
```

Общий случай

Представим входные данные $X$ в следующем виде:

$X = 2^0 \cdot X[0] + 2^1 \cdot X[1] + 2^2 \cdot X[2] + ... + 2^{N-1} \cdot X[N-1]$

и воспользуемся следующими свойствами вычетов:

$|A + B|_p = ||A|_p + |B|_p|_p$ и $|A \cdot B|_p = ||A|_p \cdot |B|_p|_p$

Тогда вычет X по модулю p можно записать следующим образом:

$|X|_p = |2^0 \cdot X[0] + 2^1 \cdot X[1] + 2^2 \cdot X[2] + ... + 2^{N-1} \cdot X[N-1]|_p =$

$= ||2^0|_p \cdot X[0] + |2^1|_p \cdot X[1] + |2^2|_p \cdot X[2] + ... + |2^{N-1}|_p \cdot X[N-1]|_p =$

$= |A_0 \cdot X[0] + A_1 \cdot X[1] + A_2 \cdot X[2] + ... + A_{N-1} \cdot X[N-1]|_p$ .

Константы вида $A_i = |2^i|_p$ могут быть рассчитаны на этапе проектирования устройства и каждая константа не превосходит значение $p$ . А общее значение выражения $SUM = (A_0 \cdot X[0] + ... + A_{N-1} \cdot X[N-1]) \le (p-1)*N$ . Так как коэффициенты $A_i$ известны, то оценку максимально возможного значения $SUM$ можно сократить ещё больше.

Таким образом что бы посчитать значение вычета $|X|_p$ требуется выполнить две операции: 1) Найти сумму $SUM = (A_0 \cdot X[0] + ... + A_{N-1} \cdot X[N-1]) \le (p-1)*N$ . 2) Определить в какой интервал вида $[0;p), [p;2 \cdot p), [2 \cdot p;3 \cdot p), ... [(N-1) \cdot p;N \cdot p)$ попадает значение $SUM$ и вычесть из него соответствующее значение $0$ для $[0;p)$ , $p$ для $[p;2 \cdot p)$ , $2 \cdot p$ для $[p;2 \cdot p)$ и.т.д.

Численный пример

Verilog-код для численного примера

```
module mod_5_23 (in, out);
```
```
	input [4:0] in;
```
```
	output reg [2:0] out;
```
```
	always @ (in)
```
```
	begin
```

	// we have small max value so we can use table here

```
	case (in)
```
```
		0: out = 0;
```
```
		1: out = 1;
```
```
		2: out = 2;
```
```
		3: out = 3;
```
```
		4: out = 4;
```
```
		5: out = 0;
```
```
		6: out = 1;
```
```
		7: out = 2;
```
```
		8: out = 3;
```
```
		9: out = 4;
```
```
		10: out = 0;
```
```
		11: out = 1;
```
```
		12: out = 2;
```
```
		13: out = 3;
```
```
		14: out = 4;
```
```
		15: out = 0;
```
```
		16: out = 1;
```
```
		17: out = 2;
```
```
		18: out = 3;
```
```
		19: out = 4;
```
```
		20: out = 0;
```
```
		21: out = 1;
```
```
		22: out = 2;
```
```
		23: out = 3;
```
```
		default: out = 0;
```
```
	endcase
```
```
	end
```
```
endmodule
```
```
 
```
```
module forward_conv_module_5 (in, out);
```
```
	input [9:0] in; // Max value: 1023
```
```
	output [2:0] out; // Max value: 4
```
```
	wire [4:0] inter1; // Max value: 23
```

	assign inter1 = in[2:0] + 3*in[3] + in[4] + 2*in[5] + 4*in[6] + 3*in[7] + in[8] + 2*in[9];

```
	mod_5_23 inst(inter1, out);
```
```
endmodule
```

Описание работы универсального прямого преобразователя

Содержание