Количество операций необходимых для вычисления воздействия FIR-фильтра

Количество операций необходимых для вычисления воздействия FIR-фильтра

Пусть задан FIR-фильтр длины M и большая последовательность данных длины K. В этом случае можно разбить последовательность на несколько отрезков длины L и выполнить свертку по методу Overlap-Add или Overlap-Save. При этом метод выполнения свертки оказывается не важен. И количество операций будет пропорционально (K/L)*OPER - где OPER - оличество операций для метода, которым мы делаем линейную свертку.

Количество операций необходимых для вычисления линейной свертки

Пусть задан фильтр длины M и последовательность L и битность входных данных B.

Свертка по обычной формуле

По опеределению свертка вычисляется по формуле: $s(n)=\sum_{m=0}^{n}a(m)b(n-m), n=0...(L+M-2)$

Для выполнения свертки в этом случае потребуется M*L операций умножения размерности B-бит и (M-1)*L операций сложения размерности 2*B-бит.

Пример

M = 1024 L = 1024 B = 8 бит

• Количество операций 16-битного сложения: 1047552
• Количество операций 8-битного умножения: 1048576

Свертка через БПФ по тригонометрическому базису

1. Количество операций требующихся для вычисления одного прямого БПФ длины 2^N составляет (2^N)*N операций комплексного умножения и (2^N)*N операций комплексного сложения. Каждая операция комплексного умножения/сложения на прямом БПФ требует две операции обычного умножения/сложения.
2. Количество операций требующихся для вычисления одного обратного БПФ длины 2^N составляется (2^N)*N операций комплексного умножения и (2^N)*N операций комплексного сложения. При этом поскольку на обратном преобразовании мнимая часть у нас не нулевая, то комплексное умножение требует 4 целочисленных умножения и 2 целочисленных сложения. Однако если на входе были только целочисленные значения, то на выходе мнимая часть нас не интересует. Поэтому требуется только две операции целочисленного умножения и одна целочисленного сложения (требуется уточнить).
3. Вычисления произведения сверток длины (M+L-1) требует (M+L-1) комплексных умножения что равноценно 4*(M+L-1) целочисленных умножения и 2*(M+L-1) целочисленных сложения.

Что бы вычислить свертку через БПФ, требуется 2 прямых преобразования БПФ длины (M+L-1). Но в случае реализации аппаратного фильтра, его коэффициенты могут переведены в частотную область единоразово. Далее требуется (M+L-1) комплексных умножения, спектров сигналов. И далее одно обратное БПФ для восстановления результата, также длины (M+L-1).

Итого: Если (M+L-1)= 2^N, то

• 2*(2^N)*N + 4*(2^N)*N + 2*(2^N)*N = 8*(2^N)*N - целочисленных умножения размерности B-бит.
• 2*(2^N)*N + 2*(2^N)*N + 2*(2^N)*N = 6*(2^N)*N - целочисленных сложения размерности 2*B-бит.

Пример

M = 1024 L = 1024 B = 8 бит

Выбираем ближайшую сверху к (M+L-1) степень двойки 2^11 = 2048 > (1024+1024-1). Итого потребуется:

• 8*2048*11 = 180224 - целочисленных умножения размерности 8-бит.
• 6*2048*11 = 135168 - целочисленных сложения размерности 16-бит.

Свертка через БПФ в конечном поле

Расчет количества операций через свертку БПФ в конечном поле сильно зависит от начальных данных. Так как на основе этих даннхы рассчитывается динамический диапазон и рассчитываются модулярные каналы.

Количество операций равно сумме: 1) Операции на прямом преобразователе 2) Операции на каждом из модулярных БПФ (всего N штук) 3) Операции на каждом из модулярных умножений (всего N штук) 4) Операции на каждом из обратных модулярных БПФ (всего N штук) 5) Операции на обратном преобразователе в позиционную систему счисления

Рассмотрим на примере:

M = 128 L = 128 B = 10 бит

Для расчета системы подходит следующий набор модулей: {257 769 3329}, то есть N = 3. Максимальное значение на входе меньше чем 2^B = 2¹⁰ = 1024

http://vscripts.ru/2012/prime-set-generator.php?bit=10&len=128&convtype=1