Свёртка (цифровая обработка сигналов)

Свёртка (англ. Convolution) — это базовая операция в задачах цифровой обработки сигналов. В дискретном случае различают два вида сверток: линейную и циклическую.

Пусть имеется два дискретных сигнала $a(n), n=0...N-1$ и $b(n), n=0...M-1$. В общем случае $N$ и $M$ отличаются.

Линейная свёртка

Линейной сверткой сигналов $a(n)$ и $b(n)$ называется дискретный сигнал вида: $s(n)=\sum_{m=0}^{n}a(m)b(n-m), n=0...(N+M-2)$

Для вычисления линейной свертки сигналы $a(n)$ и $b(n)$ сдвигают относительно друг друга почленно перемножают и складывают. При этом предполагается, что $a(n)=0$ при $n<0$ и $n\ge N$, и $b(n)=0$ при $n<0$ и $n\ge M$.

Циклическая свёртка

В циклической свертке предполагается, что дискретные сигналы $a(n)$ и $b(n)$ – периодические с одинаковым периодом $N$ отсчетов. Тогда циклической сверткой сигналов $a(n)$ и $b(n)$ называется сигнал вида: $s(n)=\sum_{m=0}^{n}a(m)b(n-m), n=0...N-1$ Результат циклической свертки также имеет длину $N$ отсчетов.

Вычисление линейной свертки через циклическую

Используя циклическую свертку можно рассчитать линейную свертку двух сигналов. Для этого необходимо каждый из сигналов $a(n)$ и $b(n)$ длительностью $M$ и $N$ отсчетов соответственно дополнить нулями до длины $M+N-1$. Вычисление линейной свертки через циклическую кажется нерациональным, однако на практике чаще бывает удобно вычислять именно циклическую свертку, благодаря так называемой теореме о свертке. Cуть теоремы о свертке: спектр циклической свертки есть произведение спектров сворачиваемых сигналов: $S(k)=A(k)*B(k)$, где $A(k)$ и $B(k)$ - спектры сворачиваемых сигналов, $S(k)$ - спектр циклической свертки двух сигналов. Где спектр есть ни что иное как Дискретное преобразование Фурье (ДПФ), для реализации которого можно использовать быстрые алгоритмы БПФ.

Применение

• Линейная свертка используется для расчета FIR-фильтров в цифровой обработке сигналов.
• Циклическую свертку используют для вычисления линейной свертки в том случае, если теорема о свертке дает хороший результат.