Перевод числа из СОК в обобщенную позиционную систему
Isaeva (обсуждение | вклад) |
Isaeva (обсуждение | вклад) |
||
Строка 70: | Строка 70: | ||
<math>a_n \equiv (\ldots (({\alpha}_n - {\alpha}_1) \cdot \tau_{1,n} - {\alpha}_2) \tau_{2,n} - \ldots {\alpha}_{n-1} \cdot \tau_{n-1,n} \pmod p_n</math>. | <math>a_n \equiv (\ldots (({\alpha}_n - {\alpha}_1) \cdot \tau_{1,n} - {\alpha}_2) \tau_{2,n} - \ldots {\alpha}_{n-1} \cdot \tau_{n-1,n} \pmod p_n</math>. | ||
− | Константы <math>\tau_{k,j}</math> принято также записывать в виде <math>\tau_{k,j} = \left | \right | \pmod </math> и называть обратными элементами по умножению для чисел | + | Константы <math>\tau_{k,j}</math> принято также записывать в виде <math>\tau_{k,j} = \left | \frac {1}{p_k} \right | \pmod </math> и называть обратными элементами по умножению для чисел <math>p_k</math> по модулю (multiplicative inverse). |
+ | |||
+ | |||
+ | '''Пример''' | ||
+ | |||
+ | Пусть дана система оснований <math>p_1 = 2, p_2 = 3, p_3 = 5, p_4 = 7, p_5 = 11</math>. Объем диапазона <math>P = 2310</math>. Переведем число <math>A = (1,1,3,5,4)</math> в ОПС. | ||
+ | |||
+ | Найдем сначала константы <math>\tau_{k,j}</math>: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | :<math>\tau_{1,2} = \left | \frac{1}{2} \right | \pmod 3 = 2</math>, <math>\tau_{1,3} = \left | \frac{1}{2} \right | \pmod 5 = 3</math>, | ||
+ | <math>\tau_{1,4} = \left | \frac{1}{2} \right | \pmod 7 = 4</math>, | ||
+ | <math>\tau_{1,5} = \left | \frac{1}{2} \right | \pmod 11 = 6</math>, | ||
+ | |||
+ | |||
+ | :<math>\tau_{2,3} = \left | \frac{1}{3} \right | \pmod 5 = 2</math>, | ||
+ | <math>\tau_{2,4} = \left | \frac{1}{3} \right | \pmod 7 = 5</math>, | ||
+ | <math>\tau_{2,5} = \left | \frac{1}{3} \right | \pmod 11 = 4</math>, | ||
+ | |||
+ | |||
+ | :<math>\tau_{3,4} = \left | \frac{1}{5} \right | \pmod 7 = 3</math>, | ||
+ | <math>\tau_{3,5} = \left | \frac{1}{5} \right | \pmod 11 = 9</math>, | ||
+ | |||
+ | |||
+ | :<math>\tau_{4,5} = \left | \frac{1}{7} \right | \pmod 11 = 8</math>. |
Версия 15:45, 15 октября 2014
Рассмотрим метод определения величины числа связанный с переводом числа из системы остаточных классов в обобщенную позиционную систему (ОПС). Для этого выявим связь между представлением некоторого числа в этих двух системах.
Алгоритм перевода числа из СОК в обобщенную позиционную систему
Пусть СОК задается основаниями и - число в этой системе. И пусть являются также основаниями ОПС, тогда число можно представить в виде
где – коэффициенты (цифры) ОПС.
Очевидно, что диапазоны чисел, представимых в СОК и ОПС совпадают, т.е. можно говорить о наличии взаимно однозначного соответствия между множеством представлений чисел в СОК и ОПС.
Предыдущее равенство можно переписать в следующем виде:
- ,
откуда следует, что цифры ОПС могут быть получены из соотношений:
- , где ,
- , где ,
- , где .
Причем при определении цифр по этим формулам все вычисления можно вести в СОК.
Действительно, из формул следует, что , т.е. - первая СОК цифра, или . Для получения сперва представим в остаточном коде. Очевидно, что делится на . Более того, взаимно просто со всеми другими модулями. Следовательно, для нахождения цифры может быть использована процедура деления без остатка:
- .
Таким путем, с помощью вычитаний и делений в остаточной записи все цифры ОПС могут быть получены. При этом замечено, что
- , ,
и, вообще, для
- .
Перевод, осуществляемый согласно описанному алгоритму,содержит всего остаточных арифметических операций вычитания и деления без остатка, где – число модулей системы.
Модификация алгоритма перевода числа из СОК в обобщенную позиционную систему
Можно предложить некоторую модификацию алгоритма с заменой операции деления операцией умножения. Для этого предварительно вычисляется констант , которые удовлетворяют условию
- .
Эти константы можно, например получить из расширенного алгоритма Евклида
- .
Здесь следует заметить тот факт, что константы полностью определяются выбранной системой оснований, поэтому могут быть вычислены заранее и храниться в некоторой таблице.
Если константы вычислены, то вычисление цифр ОПС по модифицированному алгоритму может быть переписано в виде:
,
,
,
.
Константы принято также записывать в виде Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): \tau_{k,j} = \left | \frac {1}{p_k} \right | \pmod
и называть обратными элементами по умножению для чисел по модулю (multiplicative inverse).
Пример
Пусть дана система оснований . Объем диапазона . Переведем число в ОПС.
Найдем сначала константы :
- , ,
, ,
- ,
, ,
- ,
,
- .