Пример коррекции ошибки с помощью кодов Рида-Соломона

Материал из Модулярная арифметики
Версия от 09:05, 18 июня 2014; Turbo (обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)
Перейти к: навигация, поиск

Содержание

Постановка задачи

В данной статье разбирается пример работы алгоритма коррекции ошибки для 16-битных строк. Строка разбивает на блоки длиной 4 бита и каждый блок представляет собой элемент поля Галуа GF16. Необходимо отследить и исправить одиночную ошибку, внесённую в один из блоков.

Теоретические основы алгоритма

Поля Галуа

Операцию сложения определим как "исключающее ИЛИ" (XOR).Очевидно, что в таком случае операция сложения является обратной самой себе. Тогда операция умножения в двоичном виде будет выглядеть так:

 \begin{matrix} *\underline{\begin{matrix}
0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
\end{matrix}}\\
+\underline{\begin{matrix}
0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
\end{matrix}} \\
\begin{matrix}
 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
\end{matrix} \\
\end{matrix}

Так можно умножать полиномы, в данном случае мы умножили:  (x + 1) * (x^2 + x) = x^3 + x. Определим также операцию деления чисел(или полиномов) с остатком – по аналогичным правилам, например:  \frac{110010}{101011}=011001 или  \frac{x^5 + x^4 + x}{x^5 + x^3 + x + 1} = x^4 + x^3 + 1  Теперь построим поле из 16 элементов  GF_{16} . Операцию сложения определена на XOR, Операция деления дополнена получением остатка по некоторому модулю. Выберем в качестве модуля неприводимый полином  x^4+x+1 (10011) .

Возьмем единицу и будем последовательно умножать ее на 2 и рассмотрим числа, которые будут при этом

  1. 1= 2^0=0001
  2.  2^0*2=2^1=0010 _{mod 10011} = 2 = x^1
  3.  2^1*2=2^2=0100 _{mod 10011} = 4 = x^2
  4.  2^2*2=2^3=1000 _{mod 10011} = 8 = x^3
  5.  2^3*2=2^4=10000 _{mod 10011} = 0011 = 3 = x+1
  6.  2^4*2=2^5=100000 _{mod 10011} = 0110 = 6 = x^2+x

и так далее.
Составим таблицу умножения

Степень Результат
0 1 0001
1 2 0010
2 4 0100
3 8 1000
4 3 0011
5 6 0110
6 12 1100
7 11 1011
8 5 0101
9 10 1010
10 7 0111
11 14 1110
12 15 1111
13 13 1101
14 9 1001
15 1 0001

Таким образом, при дальнейшем умножении весь цикл повторится снова. Полученные степени двойки не сложно умножать между собой, например:  13*15=2^{13}*2^{12}=2^{25 mod 15}=2^{10}=7 . Можно проверить результат,разделив  \frac{7}{13}=\frac{2^{10}}{2^{13}}=2^{-3 mod 15}=2^{12}=15 .

Таким образом, получили поле GF_{16}, то есть для двоичных 4-разрядных чисел.

Коды Рида - Соломона

При построении кода Рида-Соломона задается пара чисел N,K, где N-Общее количество символов, а К- «полезное» количество символов, N-K символов задают избыточный код, предназначенный для восстановления ошибок. Такой код Рида-Соломона будет иметь «расстояние Хемминга» D=N-K+1. В соответствии с теорией кодирования, код, имеющий расстояние Хемминга D=2t+1, позволяет восстанавливать t ошибок. Таким образом, если нам необходимо восстановить t ошибок, то общее количество символов сообщения N=K+2t. Сообщения при кодировании Рида-Соломона представляются полиномами. Исходное сообщение представляется как коэффициенты полинома p(x) степени K-1, имеющего K коэффициентов.
Порождающий многочлен Рида-Соломона,g(x), строится следующий образом:  g(x)=(x+2)(x+2^{2})..(x+2^{ D-1 } ) , 2 - примитивный член поля. Нетрудно понять, что 2^{1},2^{2},..,2^{D-1} - корни этого многочлена.
Например, построим порождающий многочлен кода Рида-Соломона с N=15,K=9, способного исправлять до 3 ошибок (15-9)/2=3: g(x)=(x+2)(x+2^{2} )(x+2^{3} )(x+2^{4} )(x+2^{5} )(x+2^{6} )=x^{6}+7x^{5}+9x^{4}+3x^{3}+12x^{2}+10x+12. (Возведение в степень и умножения выполнены над полем GF16 )!

Кодирование Рида-Соломона

Кодирование Рида-Соломона будем производить систематическим кодом, это означает, что в закодированное сообщение будет содержать в себе в явном виде исходное сообщение. Каким образом это делается: Сначала полином сдвигается на N-K коэффициентов влево
p'(x)=p(x)x^{N-K} ,а потом вычисляется остаток от деления на порождающий полином и прибавляется к p'(x): C(x)=p'(x)+p'(x)mod g(x).
Для систематического кого очевидно, что K старших коэффициентов полученного кода C(x) содержат исходное сообщение. Это удобно при декодировании. Закодированное сообщение C(x) обладает очень важным свойством: оно без остатка делится на порождающий многочлен g(x).
Докажем это свойство:
Пусь r(x)-остаток от деления p'(x) на g(x).
Тогда,
p'(x)=g(x)u(x)+r(x)
Итак,
r(x)=p'(x)mod g(x)
Тогда
C(x)=p'(x)+p'(x)mod g(x)=g(x)u(x)+r(x)+r(x)
Вспомним, что в арифметике поля Галуа сложения являются одновременно и вычитанием, тогда r(x)+r(x)=0!Следовательно C(x) делится на g(x) без остатка.
Таким образом,
C(x) mod g(x)=0
В случае, если закодированное сообщение будет изменено, то это равенство будет нарушенным, не считая случая, когда ошибка окажется кратной g(x). Факт искажения можно рассматривать как прибавление к C(x) некоторого полинома ошибки E(x).
Пример:
Рассмотрим кодирование информации. Пусть наше сообщение такое: 12, 10, 12, 7
Полином сообщения получается такой: I(x)=12x^{3}+10x^{2}+12x+7
Умножаем на x^{2},получаем:
I'(x)=12x^{5}+10x^{4}+12x^{3}+7x^{2}
Делим на g(x) и получаем остаток: r(x)= x + 4
В итоге получается полином закодированного сообщения:
C(x)=12x^{5}+10x^{4}+12x^{3}+7x^{2}+x+4

Декодирование Рида-Соломона

Первым шагом необходимо выполнить деление полинома на порождающий полином g(x). Если остаток от деления равен 0, то сообщение не искажено и декодирование для систематического кода тривиально.
Разделим закодированное сообщение на образующий полином: \frac{12x^{5}+10x^{4}+12x^{3}+7x^{2}+x+4}{x^{6}+7x^{5}+9x^{4}+3x^{3}+12x^{2}+10x+12}=0,
в этом можно убедиться, самостоятельно проделав операцию деления, согласно арифметике поля GF_{16}</math>
Внесем ошибку в закодированное сообщение, полином ошибки E(x)=14x^{4}
Разделим получившееся закодированное сообщение C'(x) на g(x): r(x) = 14x + 14
В случае присутствия ошибки выполняем следующие действия:
Декодирование основано на построении многочлена синдрома ошибки S(x) и отыскании соответствующего ему многочлена локаторов L(x).
Локаторы ошибок – это элементы поля Галуа, степень которых совпадает с позицией ошибки. Так, если искажён коэффициент при x^{4}, то локатор этой ошибки равен a^{4}, если искажён коэффициент при x^{7} то локатор ошибки будет равен a^{7} и т.п. (а – примитивный член, т.е. в нашем случае a=2). Многочлен локаторов L(x) – это многочлен, корни которого обратны локаторам ошибок. Таким образом, многочлен L(x) должен иметь вид
L(x)=(1+xX_1 )(1+xX_2)..(1+xX_i)
где X_1,X_2,..,X_i - локаторы ошибок
Ясно, что если этот многочлен будет найден, то мы легко сможем определить локаторы ошибок – для этого потребуется только определить его корни.
Для определения этого полинома сначала получают вспомогательный полином S(x), так называемый синдром ошибки. Коэффициенты синдрома ошибки получаются подстановкой степеней примитивного члена в остаток многочлен r(x) = C(x) mod          g(x): S_i=e(a^{i})
Для нашего примера:
S(1) = 1;
S(2) = 3;
Между L(x) и S(x) существует соотношение
L(x)S(x)=W(x)modx^{N-K}
W(x) называется многочленом ошибок. Степень многочлена W(x) не может превышать t-1, где t – количество ошибок, то есть в максимальном случае (N-K)/2-1
С учётом этого обстоятельства, а также учитывая, что свободный член L(x):  L_0=1 (ведь L(x)=(1+xX_1 )(1+xX_2 )..(1+xX_i) ) можно составить систему линейных уравнений. W(x)=
L_0 S_0
(L_0 S_1+L_1 S_0 )X+
(L_0 S_2+L_1 S_1+L_2 S_0 ) X^2+
(L_0 S_3+L_1 S_2+L_2 S_1+L_3 S_0 ) X^3+
...
(L_0 S_{N-K-1}+L_1 S_{N-K-2}..L_{(N-K)/2} S_{(N-K)/2-1}X^{N-K-1}
Пусть t = (N-K)/2
Коэффициенты при степенях от 0 до t – 1 не равны нулю, при старших степенях должны быть нулевыми.
L_0 S_t+L_1 S_{t-1}+L_2 S_{t-2}+L_3 S_{t-3}...L_t S_0  = 0
L_0 S_{t+1}+L_1 S_t+L_2 S_{t-1}+L_3 S_{t-2}...L_t S_1  = 0
L_0 S_{t+2}+L_1 S_{t+1}+L_2 S_t+L_3 S_{t-1}...L_t S_2  = 0
\dots
L_0 S_{2t-1}+L_1 S_{2t-2}+L_2 S_{2t-3}+L_3 S_{2t-4}...L_t S_t  = 0
Коэффициент L_0 известен, остальные необходимо найти, следовательно требуется составить t уравнений.
L_1 S_{t-1}+L_2 S_{t-2}+L_3 S_{t-3}...L_t S_0  = S_t
L_1 S_t+L_2 S_{t-1}+L_3 S_{t-2}...L_t S_1  = S_{t+1}
L_1 S_{t+1}+L_2 S_t+L_3 S_{t-1}...L_t S_2  = S_{t+2}
...
L_1 S_{2t-2}+L_2 S_{2t-3}+L_3 S_{2t-4}...L_t S_t  = S_{2t-1}
В матричном виде:

M=
\quad\left\|\begin{array}{ccccc} 
S_{t-1} &  S_{t-2} & S_{t-3} & \cdots & S_0\\
S_{t} &  S_{t-1} & S_{t-2} & \cdots & S_1\\
S_{t+1} &  S_{t} & S_{t-1} & \cdots & S_2\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 
S_{2t-2} &  S_{2t-3} & S_{2t-4} & \cdots & S_t\\
\end{array}\right\|

V=\quad\left\|\begin{array}{c} 
S_{t} \\
S_{t+1} \\
S_{t+2} \\
\cdots \\ 
S_{2t-1} \\
\end{array}\right\|

L=\quad\left\|\begin{array}{c} 
L_{1} \\
L_{2} \\
L_{3} \\
\cdots \\ 
L_{t} \\
\end{array}\right\|

ML = V, \Rightarrow M^{-1}V Например, для нашего примера – кода Рида-Соломона (6, 4) матрица M имеет вид:
 M = S_1 , а вектор V = S_2;   L(1) = S(2) / S(1) = 3 / 1 = 3
Таким образом, вычисление полинома локаторов сводится к построению матрицы M, нахождению обратной ей и умножению на вектор V. Обратная матрица получается так же, как и в обычной математике, например Жордановым методом. После того, как полином L(x) найден, следует найти его корни – они будут обратны к локаторам ошибок.
Для нашего примера многочлен локаторов L(x) =1 + 3x имеет корень \frac{1}{3}, а обратный к нему  3 = 2^{4}, а значит позиция ошибки равна x^{4}
После нахождения позиции ошибки,займемся нахождением значением ошибки:
Воспользуемся определением синдромной функции:

S(1) = r(\alpha) = e_1 L_1 + e_2 L_2 + ... + e_n L_n,
S(2) = r(\alpha) = e_1 L_1^{2} + e_2 L_2^{2} + ... + e_n L_n^{2},
...
S(n) = r(\alpha) = e_1 L_1^{n} + e_2 L_2^{n} + ... + e_n L_n^{n},

где e_1,e_2,..,e_n - значение ошибки. L_1,L_2,..,L_n - позиция ошибки.

Для нашего кода RS(6,4): S(1) = e_1 L_1; e_1 = S(1) / L_1 = 1 / 3 = 2^{0} / 2^{4} = 2^{11} = 14 - позиция ошибки.
Таким образом сформируем многочлен вычисленной ошибки E'(x) = 14x^{4}, который совпадает с заданным E(x)


Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация