Расширение диапазона представления чисел

Расширение системы оснований является одной из основных немодульных операций в СОК. Выполнение этой операции бывает необходимо при выполнении операции деления чисел, при вычислении позиционных характеристик, при обнаружении переполнения при выполнении сложения или умножения чисел. Задачу расширения системы оснований можно сформулировать следующим образом: найти остаточное представление числа по новому основанию (новым основаниям), если известно представление числа по другим основаниям остатки от деления на другие числа. Один из путей расширения системы оснований состоит в переводе числа в позиционную систему счисления и вычисления остатка от деления на новый модуль. Этот путь не является рациональным с точки зрения числа операций. Другой метод расширения системы оснований позволяет определить цифру числа по новому основанию, базируясь на таких позиционных характеристиках числа, как ранг числа, след числа. Пусть вновь задана система оснований $p_1, p_2, \ldots, p_n$ с диапазоном $P$, ортогональными базисами $B_1, B_2, \ldots, B_n$, веса которых $m_1, m_2, \ldots, m_n$. По определению, $B_i = m_i \cdot \frac{P}{p_i}, i=1, \ldots, n$. Пусть в этой системе задано число $A = ({\alpha}_1, {\alpha}_2, \ldots, {\alpha}_n)$. Расширим систему оснований, добавляя основание $p_{n+1}$, тогда диапазон системы станет $P' = p_{n+1} \cdot P$, ортогональные базисы системы ${B_1}', {B_2}', \ldots, {B_n}', {B_{n+1}}'$, их веса ${m_1}', {m_2}', \ldots, {m_n}', {m_{n+1}}'$, причём ${B_i}' = {m_i} \cdot \frac{p_{n+1} \cdot P}{p_i}, i=1, \ldots, n+1$. Задача состоит в определении цифры ${\alpha}_{n+1})$ числа $A = ({\alpha}_1, {\alpha}_2, \ldots, {\alpha}_n)$ по основанию $p_{n+1}$. Минимальным следом числа называют цифру ${S^*}_A$, при которой число $A^* = ({\alpha}_1, {\alpha}_2, \ldots, {\alpha}_n), {S^*}_A$ находится в интервале $\left[0,\frac{P'}{p_{n+1}}\right]$, и число $A \in \left[0,P\right)$. Определение цифры по основанию $p_{n+1}$ сводится тогда к определению минимального следа числа $A$ в расширенной системе оснований.