Рекурсивная модулярная арифметика

Принцип рекурсивных модулярных вычислений

Система модулей традиционной модулярной арифметики может быть выражена через систему субмодулей меньшей размерности с использованием рекурсии.

Рекурсивная модулярная арифметика основана на принципе глубокого распараллеливания модульных операций модулярной арифметики с основаниями $p_1,p_2,\ldots,p_n$ посредством сведения модульных операций по каждому рабочему основанию $p_j$, $i\le j\le n$ к модульным вычислениям по предшествующим рабочим основаниям $p_1,p_2,\ldots,p_{i-1}$, имеющим то или иное технологическое преимущество (например, малобитным), которые называются базисными основаниями. Такая редукция допустима только при выполнении так называемого условия согласования вычислительных диапазонов по каждому рабочему модулю $p_j$ с вычислительными диапазонами по соответствующим комплексам базисных оснований.

Принцип согласования гарантирует, во-первых, изоморфизм кольцевых операций по соответствующим им комплексам базисных оснований, и во-вторых, выполнимость обращения каждого шага рекурсии посредством перевода соответствующих модулярных кодов по базисным основаниям в позиционный код (например, на основе китайской теоремы об остатках, или переводом их в полиадический код).

Рекурсивное представление данных позволяет устранить некоторые недостатки модулярной арифметики. В частности, нивелируется неоднородность модульных вычислителей по сложности и времени выполнения операций. Несмотря на ограничения, которые накладываются на систему модулей, предложенный метод обеспечивает выигрыш по скорости и может быть применен в параллельных высокоскоростных вычислительных устройствах.

Пример

Поясним процедуру рекурсивных преобразований на простом примере. Возьмем в качестве базисных модулей двухбитные простые числа $p_1=2, p_2=3$. Очевидно, что вычетами по модулям 2 и 3 можно однозначно представить любой вычет по модулю 5. В то же время вычетами по модулям 2, 3 и 5, где вычеты по модулю 5 представимы по модулям 2 и 3, можно однозначно представить любой вычет по модулю 29. Вычетами по модулям 2, 3, 5 и 29 можно однозначно представить любой вычет по модулю 863. И так далее пока не получим нужный набор рабочих оснований: 2, 3, 5, 29, 863,… Данный пример наглядно иллюстрирует 4 факта:

1) Аппаратные и временные затраты на представление чисел по базовым модулям 2 и 3 примерно одинаковы (оба базисных модуля двухбитные);

2) Наблюдается более высокая степень распараллеливаемости;

3) Появляется регулярность (все вычисления проводятся по модулям 2 и 3);

4) Столь малая разрядность базовых модулей позволяет эффективно реализовать модульные операции по базисным модулям в комбинационных схемах.

Однако имеется ряд ограничений, которые должны быть выполнены и которые приводят к усложнению устройств, созданных по данной методике. Рассмотрим эти ограничения.

Пусть есть система базисных модулей $p_1,p_2,\ldots,p_m$ и необходимо представить вычеты по модулю $p_{m+1}$ через вычеты по этой системе базовых модулей. Очевидно, что максимальный вычет по модулю $p_{m+1}$ равен $max=p_{m+1}-1$. Зная это значение и последовательность выполняемых операций, можно рассчитать максимальное значение $MAX$ результата арифметической операции. Очевидно, что для однозначного представления результата арифметических операций необходимо, чтобы $MAX<Q$, где $Q=p_1\cdot p_2\cdot \ldots \cdot p_m$. Для остальных модулей расчет производится аналогично.

Для примера с базовыми модулями 2 и 3 $Q=2\cdot 3 = 6$. Наименьшее простое число (после 2 и 3) - это 5, следовательно, $max=4$. Нельзя выполнить ни операцию сложения, т.к. $2\cdot max > Q$ $(8 > 6)$ , ни, тем более, операцию умножения, т.к. $max^2 > Q$ $(16 > 6)$. Чтобы выполнять любую из арифметических операций (сложение или умножение) надо увеличить число $Q$ (т.е. увеличить значения базисных модулей и/или их количество).

Возьмем в качестве базисных модулей все взаимно простые трехбитные числа: 4, 5 и 7. В этом случае $Q=4\cdot 5\cdot 7=140$.

Таким образом, выбираем $p_i = 11$ (ближайшее к 7 простое число). Далее совокупность рабочих модулей строится с помощью аналогичного расчета, пока не будет достигнут требуемый вычислительный диапазон.

Наконец, рассмотрим реальный случай. Пусть нам нужно реализовать преобразователь Фурье для 24-битных аргументов при количестве точек 1024. Для этого потребуется вычислять сумму 1024 произведений, т.е. обеспечить $1024 \cdot max^2 < Q$. Здесь уже не обойтись системой только трехбитных базисных модулей. Добавим к ним четырехбитные: 5, 7, 8, 9, 11 и 13 (Q = 360360). Для выбора ближайшего рабочего модуля необходимо $\sqrt \frac{Q}{1024}$.

Получаем $p_{i}-1 < 32$. Выбираем $p_{i} = 31$.

Аналогичным расчетом реализуем рекурсивное дерево рабочих оснований целиком.

Чтобы сделать такое устройство, нужно спроектировать блок из 6 вычислителей (для каждого базисного модуля), потребуется 16 таких блоков. Вот где работает регулярность.

Заметим, что все вычислители будут иметь высокую скорость модульных операций (суперраспараллеливание) и небольшие аппаратные затраты в силу малости базисных модулей или их близости к степеням двойки.

Таким образом, предложенный аппарат рекурсивных модулярных вычислений дает следующие преимущества:

1. Устранение дисбаланса в операциях с малыми и большими модулями (аппаратные и временные затраты примерно одинаковы, т.к. в идеале все базисные модули имеют одинаковое число бит).

2. Существенно более высокая степень распараллеливаемости, а значит и более высокое быстродействие.

3. Появляется регулярность (большое количество одинаковых базисных модулей).

4. Малая разрядность базисных модулей позволяет реализовать модульные операции на комбинационных схемах, оптимизированных в базисе булевых функций.

Представление данных и основные операции рекурсивной модулярной арифметики

Идея, на которой базируется рекурсивная модулярная арифметика: выразить систему модулей через систему субмодулей, имеющую меньшую размерность.

Пусть задана система модулей $p_1, p_2, \ldots, p_i, \ldots , p_n$ и задан некоторый вектор $A = (a_1, a_2, \ldots , a_n)$. Выразим $a_i$ через систему субмодулей

$p_i = (p_{i,1}, p_{i,2}, \ldots , p_{i,k})$ , где $P_i = p_{i,1}, p_{i,2}, \ldots , p_{i,k}$ и $a_i < P_i$: $a_i = (a_{i,1}, a_{i,2}, \ldots , a_{i,k})$.

В этом случае вектор A можно представить в следующем виде:

$(a_1, a_2, \ldots , a_{i-1}, (a_{i,1}, a_{i,2}, \ldots , a_{i,k}), a_{i+1}, \ldots , a_n)$, см. рисунок 1.

Рис.1. Иерархия в модулярной арифметике

Назовем систему из m младших модулей системой базовых модулей, а их произведение обозначим $Q = (p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_m)$.

Пусть $P_{i,1} = p_i, p_{i,2} = p_2, \ldots , p_{i,i-1} = p_{i-1}$ , а $k = i-1$, тогда при $i = m+1, \ldots , n$ имеет место рекурсия. $a_i = (a_1, a_2, \ldots , a_m, a_{m+1}, \ldots , a_{i-1})$ по системе модулей $p_1, p_2, \ldots , p_m, p_{m+1}, \ldots , p_{i-1}$ или, раскрывая рекурсию: $a_i = (a_1, a_2, \ldots , a_m, (a_{m+1,1}, a_{m+1,2}, \ldots , a_{m+1,m} ), \ldots)$. На рис.2 приведен частный случай разложения элемента $a_i$ для случая $n=6$ и $m=3$.

Рис.2. Рекурсивное разложение элемента p6 через систему субмодулей (p1,p2,p3)

Прямое преобразование числа из позиционной системы счисления в представление рекурсивной модулярной арифметики

Если в традиционной модулярной арифметике число элементов вектора равно числу элементов в системе модулей, то в рекурсивной модулярной арифметике количество элементов вектора увеличивается в зависимости от заданных $n$ и $m$ . Очевидно, что каждый из первых $m$ элементов представляется в виде одного числа. $(m+1)$-й элемент содержит $m$ элементов, поскольку выражается через $m$ элементов системы субмодулей:

$a_{m+1} = (a_{m+1,1}, a_{m+1,2}, \ldots , a_{m+1,m})$.

$(m+2)$-й элемент содержит $2 \cdot m$ элементов, поскольку выражается через $m$ элементов системы субмодулей и $m$ элементов вектора $a_{m+1}$ . Таким образом, продолжая рассуждения, можно заключить, что число элементов $L_i$ для вектора $a_i$ может быть выражено следующей формулой:

$L_i = \begin{cases} 1, & \mbox{if } i \le m ; \\ 2^{i-m-1} \cdot m, & \mbox{if } m<i<n \end{cases}$

Общее же число элементов$L$вектора $A$ можно рассчитать, воспользовавшись формулой суммы геометрической прогрессии:

$L = \sum_{i=1}^{n} L_i = m+m \cdot (2^0+2^1+ \ldots +2^{n-m+1}) = m \cdot (1+ \frac{2^{n-m}-1}{2-1}) = 2^{n-m} \cdot m$

Рассмотрим численный пример. Пусть задана система модулей: $(p_1, p_2, p_3, p_4, p_5) = (2,3,5,29,863)$. $P = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 29 \cdot 863 = 750810$.

Также необходимо убедиться, что $2 \cdot 3 >5, 2 \cdot 3 \cdot 5 >29$, $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 29 >863$.

Выберем систему базовых модулей $(p_1, p_2)$. В этом случае $Q = p_1 \cdot p_2 = 6$, $n = 5, m = 2$. Число элементов вектора $L = 2^3 \cdot 2 = 16$.

Разложим число $A = 865$, заданное в позиционной системе счисления в вектор по обычному базису.

$A = ( |865|_2, |865|_3, |865|_5, |865|_29, |865|_863 ) = ( 1, 1, 0, 24, 2 )$.

Теперь разложим число $A$ по рекурсивному базису:

$A = ( |865|_2, |865|_3, ( | |865|_5|_2, | |865|_5|_3 ),$

$( | |865|_29|_2, | |865|_29|_3 , ( | | |865|_29|_5|_2, | | |865|_29|_5|_3 ) ) ,$

$( | |865|_863|_2, | |865|_863|_3 , ( | | |865|_863|_5|_2, | | |865|_863|_5|_3 ) ) ,$

$( | | |865|_863|_29|_2, | |865|_863|_29|_3 ,$ $( | | | |865|_863|_29|_5|_2, | | | |865|_863|_29|_5|_3 ) ) ) )$.

Поскольку все числа в этом векторе не превышают 3, то для хранения вектора потребуется 16*2=32 бит вместо 20 бит для хранения числа в позиционной системе счисления. Степень избыточности составит 1.6. Иллюстрацию к примеру смотрите на рисунке 3.

Рис.3. Разложение числа в системе (2,3,5,29,863) через систему базовых модулей (2,3)

Ограничения на выбор базиса

Максимальное значение, которое можно представить с помощью $P_{m+1}$, равно $max = p_{m+1} - 1$. Чтобы была возможность выполнять арифметические операции над числами, требуется, чтобы результат операции для $p_{m+1}$-го элемента был меньше $Q = (p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_m)$. Для сложения это будет $2 \cdot max$, а для умножения - $max^2$.

Рассмотрим следующий пример. Пусть задан базис $(2, 3, 5)$. Выберем систему базовых модулей $(2, 3)$ . В этом случае $Q = 2 \cdot 3 = 6$, $max = 4$. Поскольку для сложения потребуется максимально представимое число 8, что больше 6, а для умножения 16, что тоже больше 6, то в таком базисе можно выполнять взаимно-однозначное разложение чисел, но для базовых арифметических операций он не подходит. Для реальных задач требуется увеличение числа $Q$.

Как именно выбирать элементы базиса? Рассмотрим следующий пример.

Пусть задана система базовых модулей $(4, 5, 7)$. Требуется определить $p_4$ таким образом, чтобы в рамках полученного рекурсивного базиса можно было использовать операцию умножения.

$Q > MAX$ => $Q > max^2$ => $Q > (p_{4}-1)^2$ => $p_4 < \sqrt{Q} + 1$ => $p_4 < \sqrt{140} + 1$ => $p_4 < 12.8$.

Следовательно, для реализации рекурсивного базиса мы можем выбрать $p_4 = 11$.

Обратное преобразование числа из рекурсивного представления в позиционное

Для обратного представления также требуется рекурсивная реализация на базе того же метода, который используется для преобразования из вектора традиционной модулярной арифметики в позиционную систему счисления.

Пусть задан некоторый вектор $A = (a_1, a_2, \ldots , a_n)$.

Из свойств систем остаточных классов известно, что

$A = (a_1, a_2, \ldots , a_n) = (a_1, 0, \ldots , 0) + (0, a_2, 0, \ldots , 0) + \ldots + (0, 0, \ldots , a_n) = |\sum_{i=1}^n{a_i \cdot b_i}|$,

где

$B_0 = (1, 0, \ldots , 0) , B_1 = (0, 1, \ldots , 0) , \ldots , B_n = (0, 0, \ldots , 1)$ - система ортогональных базисов.

В рекурсивной модулярной арифметике требуется найти набор ортогональных базисов для следующих систем остаточных классов:

$(p_1, p_2, \ldots , p_m), (p_1, p_2, \ldots , p_{m+1}), \ldots + (p_1, p_2, \ldots , p_n)$.

Рассмотрим пример. Пусть задан базис $(3, 5, 7, 11, 13)$ с системой базовых модулей $(3, 5, 7)$. И пусть требуется преобразовать вектор $(1, 2, 1, (0, 3, 3), (0, 1, 6, (0, 1, 6)))$ в позиционную систему счисления. Для обратного преобразования требуется найти ортогональные базисы для каждой из следующих систем остаточных классов:

$S_1 = (3, 5, 7)$ => $B_{1,1} = (1, 0, 0) \equiv 70$; $B_{1,2} = (0, 1, 0) \equiv 21$; $B_{1,3} = (0, 0, 1) \equiv 15$;

$S_2 = (3, 5, 7, 11)$ => $B_{2,1} \equiv 385$; $B_{2,2} \equiv 231$; $B_{2,3} \equiv 330$; $B_{2,4} \equiv 210$;

$S_3 = (3, 5, 7, 11, 13)$ => $B_{3,1} \equiv 5005$; $B_{3,2} \equiv 6006$; $B_{3,3} \equiv 10725$; $B_{3,4} \equiv 1365$; $B_{3,5} \equiv 6930$;

Процесс обратного преобразования приведен на рисунке 4. В позиционной системе счисления искомый вектор равен 13357.

Рис.4. Процесс обратного преобразования вектора

Сложение и умножение в рекурсивной модулярной арифметике

Если выполнены ограничения, наложенные на базис, то сложение и умножение чисел выполняются так же, как и в традиционной модулярной арифметике. Чтобы сложить (умножить) два числа, требуется сложить (умножить) соответствующие элементы вектора по модулю $p_i$. А поскольку все элементы вектора имеют малую разрядность, параллельное сложение (умножение) выполняется очень быстро.