Числа Мерсенна и Ферма

При рассмотрении отдельных классов простых чисел значительный интерес представляет вопрос о простых числах специального вида, таких, например, как числа Мерсенна или числа Ферма.

Определение

Числа Мерсенна — числа вида $M_n = 2^n - 1$, где $n$ — натуральное число. Названы в честь французского математика Марена Мерсенна.

Иногда числами Мерсенна называют только числа $M_n$ с нечетными или простыми индексами n.

Множества простых чисел в этих последовательностях совпадают, а потому понятие простого числа Мерсенна не зависит от того, как именно определяются числа Мерсенна.

При простых значениях n = p число может оказаться простым, но может быть составным. Например, при $p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19$ мы получаем простые числа Мерсенна: $3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287$, а при $p = 11, 23, 29$ числа $2^p - 1$ - составные.

Свойства чисел Мерсенна

• Если $M_n$ является простым, то число n также простое. Обратное в общем случае неверно, наименьшим контрпримером является $M_{11} = 2047 = 23\cdot 89$.

• Любой делитель числа $M_p$ для простого p имеет вид 2pk+1, где k — натуральное число (следствие малой теоремы Ферма).

Числа Мерсенна получили известность в связи с эффективным тестом простоты Люка — Лемера, благодаря которому простые числа Мерсенна давно удерживают лидерство как самые большие известные простые числа.

Определение

Числа Ферма — числа вида $F_n=2^{2^n}+1$, где n — неотрицательное целое число.

При $n = 0, 1, 2, 3, 4$ числа Ферма простые: $3, 5, 17, 257, 65537$.

Все числа Мерсенна и Ферма – взаимно простые.

Необходимо отметить, что значения чисел Мерсенна и Ферма быстро растут. Это не позволяет ограничиться только такими числами в качестве модулей СОК.

Операции над числами Мерсенна и Ферма

1. Если в качестве модулей $p_j$ выбраны числа Мерсенна, т.е. числа вида $p_j = 2^{e_j} - 1$, для которых значение модуля на единицу меньше очередной степени двойки, это зачастую упрощает выполнение основных арифметических операций, так как выполнять вычисления с числами в таком представлении несколько проще, чем с числами, представленными в обратном коде.

При таком выборе модулей полезно несколько ослабить условие $0 \le {\alpha} < p_i$ и потребовать только чтобы

$0 \le {\alpha}_j < 2^{e_j}, a_j \equiv A \pmod{{e_j}-1}$. (1)

Таким образом, значение ${\alpha}_j = p_j = 2^{e_j}-1$ принимается в качестве оптимального вместо ${\alpha}_j = 0$, поскольку это, с одной стороны, не влияет на справедливость китайской теоремы об остатках, а с другой означает, что math>{\alpha}_j</math> может быть любым math>{\alpha}_j</math>- битовым двоичным числом. При таком допущении, операции сложения и вычитания по модулю $p_j$ выполняются следующим образом:

${\alpha}_j \oplus {\beta}_j = (({\alpha}_j + {\beta}_j) \pmod{e_j}) + \lfloor ({\alpha}_j + {\beta}_j) \ge 2^{e_j} \rfloor$,

${\alpha}_j \otimes {\beta}_j = ({\alpha}_j \cdot {\beta}_j \pmod{e_j}) \oplus \lfloor ({\alpha}_j \cdot {\beta}_j) / 2^{e_j} \rfloor$.

Здесь $\oplus$ и $\otimes$ указывают на действия, которые с учётом условия (1) должны быть выполнены с отдельными компонентами кортежей ${\alpha}_1, {\alpha}_2, \cdots, {\alpha}_n$ и ${\beta}_1, {\beta}_2, \cdots, {\beta}_n$ при сложении или умножении соответственно. При вычитании можно пользоваться и соотношением:

${\alpha}_j \ominus {\beta}_j = (({\alpha}_j - {\beta}_j) \pmod{e_j}) - \left[ {\alpha}_j < {\beta}_j \right]$.

Эти операции могут быть эффективно выполнены, даже если $2^{e_j}$ больше машинного слова компьютера, так как совсем просто вычислить остаток положительного числа по модулю степени 2 или разложить число по степеням 2. Для работы с модулями вида $2^{e_j}-1$ необходимо знать, при каких условиях число $2^{e_j}-1$ является взаимно простым с числом $2^{\beta}-1$. Для этого существует простое правило:

$(2^e-1,2^{\beta}-1) = 2^{e,\beta}-1$. (2)

Формула (2) утверждает, в частности, что

$(2^e-1,2^{\beta}-1) = 1 \Leftrightarrow (e,\beta) = 1$.

Уравнение (2) следует из алгоритма Евклида и тождества

${(2^e-1)} \pmod {2^{\beta}-1} = 2^{e \pmod {b}} - 1$.

Поэтому на компьютере с длиной слова $2^{32}$ можно выбрать

$p_1 = 2^{32} - 1, p_2 = 2^{31} - 1, p_3 = 2^{29} - 1, p_4 = 2^{27} - 1, p_5 = 2^{25} - 1$,

что обеспечивает эффективность сложения, вычитания и умножения целых чисел в интервале вплоть до $p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot p_4 \cdot p_5 > 2^{143}$.

2. Прямое преобразование для чисел Мерсенна

Модулярное представление $({\alpha}_1, {\alpha}_2, \ldots, {\alpha}_n)$ для заданного числа $A$ может быть получено посредством деления $A$ на $(p_1, p_2, \ldots, p_n)$ с запоминанием остатков. В случае, когда $A = {({\nu}_k, {\nu}_{k-1}, \ldots, {\nu}_0)}_b$, возможно применение более подходящего способа, который состоит в том, чтобы, используя СОК, вычислить полином

$(\ldots ({\nu}_k \cdot b + {\nu}_{k-1}) \cdot b + \ldots ) b + {\nu}_0)$.

Если основание $b = 2$ и модули $p_j$ имеют вид $2^{e_j}-1$, оба подхода сводятся к совсем простому способу.

Рассмотрим двоичные представления числа $A$ с блоками по ${e_j}$ бит:

$A = a_t \cdot N^t + a_{t-1} \cdot N^{t-1} + \ldots + a_1 \cdot N + a_0$,

где $N = 2^{e_j}$ и $0 \le a_j < 2^{e_j}$ при $0 \le k \le t$.

Тогда $A \equiv {(a_t + a_{t-1} + \ldots + a_1 + a_0)} \pmod {2^{e_j}-1}$, поскольку $N \equiv 1 \pmod{2^{e_j}-1}$.

Поэтому ${\alpha}_j$ вычисляются путём сложения $e_j$-битовых чисел ${a_t \oplus a_{t-1} \oplus \ldots \oplus a_1 \oplus a_0} \pmod{2^{e_j}-1}$.

3. Обратное преобразование для чисел Мерсенна. Алгоритм Гарнера.

Обратный переход от СОК к позиционной системе счисления несколько сложнее. Алгоритм, основанный на китайской теореме об остатках требует вычисления значение функции Эйлера для вычислении обратных мультипликативных элементов, что в общем случае требует факторизации, т.е. разложения чисел $p_j$ на простые множители. Даже это показывает, что обратное преобразование чисел из СОК в позиционную систему счисления в соответствии с этим алгоритмом требует большого числа вычислительных операций с высокой точностью. Алгоритм перехода от ${\alpha}_1, {\alpha}_2, \cdots, {\alpha}_n$ к $A$, пригодный для практического применения, основан на доказательстве китайской теоремы об остатках, предложенном в 1958 г. Х. Л. Гарнером. Оно основано на использовании ${C}_n^k$ констант $c_{ij} (1 \le i \le j \le k)$, где

$c_{ij} \equiv 1 \pmod{p_j}$, (3)

, т.е.

$c_{ij} = p_i^{-1} \pmod{p_j}$.

Алгоритм Гарнера

Рассмотрим набор модулей $(p_1, p_2, \dots, p_n)$, удовлетворяющих условию китайской теоремы об остатках. Любое число $0 \leqslant x < M = a_1\cdot a_2 \cdot\ldots\cdot a_n$ однозначно представимо в виде

$x = x_1 + x_2\cdot p_1 + x_3\cdot p_1\cdot p_2 + \dots + x_n\cdot p_1\cdot p_2\cdot\ldots\cdot p_{n-1}$.

Вычислив по порядку все коэффициенты $x_i$ для $i \in \{1, 2, \dots, n\}$, можно подставить их в формулу и найти искомое решение:

Рассмотрим выражение для $x$ по модулю $p_i$, где $i\in \{2, \dots, n\}$, получим:

$x_1 = r_1$;

$r_2 = (x_1 + x_2\cdot p_1) \pmod{p_2}$;

$x_2 = (r_2 - x_1)\cdot c_{12} \pmod{p_2}$;

$r_3 = (x_1 + x_2\cdot p_1 + x_3\cdot p_1\cdot p_2) \pmod{p_3}$;

$x_3 = ((r_3 - x_1)\cdot c_{13} - x_2)\cdot c_{23} \pmod{p_3}$

и так далее.

Основное преимущество алгоритма Гарнера заключается в том, что вычисления производятся с числами, не превышающими величину модуля M.

Константы $c_{ij}$ можно вычислить заранее с помощью расширенного алгоритма Евклида, который по заданным $i$ и $j$ позволяет определить числа $a$ и $b$ такие, что $a\cdot p_i + b\cdot p_j = (p_i, p_j) = 1$, и можно положить $c_{ij} = a$. В частности, для величины, обратной к $2^{\alpha} - 1$ по модулю $2^{\beta} - 1$, легко получить сравнительно простую формулу

$((1+2^d+\ldots +2^{{c-1}\cdot d})\cdot ({2^{\alpha} - 1})) \pmod {(2^{\beta} - 1)} = 1$,

где $\alpha \pmod {\beta} = d$ и $c \alpha \pmod {\beta} = 1$.

Действительно, если $\alpha = {\beta} +k\cdot q$, то

$2^{\alpha} = 2^{\beta} \cdot (2^q)^k \equiv 2^{\beta} \cdot 1^k \pmod{2^q - 1}$.

Поэтому при $2^{\alpha} \equiv 2^{\beta} \pmod{2^q - 1}$ имеем $2^{{\alpha}\pmod{q}} \equiv 2^{{\beta}\pmod{q}} \pmod{2^q - 1}$; а так как эти последние величины расположены между нулём и ${2^q - 1}$, должно выполняться ${\alpha}\pmod{q} = {\beta}\pmod{q}$.

Тогда

$((1+2^d+\ldots +2^{{c-1}\cdot d})\cdot ({2^{\alpha} - 1})) \equiv ((1+2^d+\ldots +2^{{c-1}\cdot d})\cdot (2^{d}-1)) =$

$= 2^{cd} - 1 \equiv 2^{c\alpha} - 1 \equiv 2^1 - 1 \equiv 1\pmod {(2^{\beta} - 1)}$.