Просмотр исходного текста страницы Числа Мерсенна и Ферма

При рассмотрении отдельных классов простых чисел значительный интерес представляет вопрос о простых числах специального вида, например, числа Мерсенна или числа Ферма.

'''Определение'''

'''Числа Мерсенна''' — числа вида <math>M_n = 2^n - 1</math>, где <math>n</math> — натуральное число.
Названы в честь французского математика Марена Мерсенна.

Иногда числами Мерсенна называют только числа <math>M_n</math> с нечетными или простыми индексами ''n''. 

Множества простых чисел в этих последовательностях совпадают, а потому понятие ''простого числа Мерсенна'' не зависит от того, как именно определяются числа Мерсенна.

При простых значениях n = p число   может оказаться простым, но может быть составным.
Например, при <math>p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19</math> мы получаем простые числа Мерсенна: <math>3, 7, 31, 127, 8191, 131071</math>, а при <math>p = 11, 23, 29</math> числа <math>2^p - 1</math> - составные. 

== Свойства чисел Мерсенна ==

* Если <math>M_n</math> является простым, то число ''n'' также простое. Обратное в общем случае неверно, наименьшим контрпримером является <math>M_{11} = 2047 = 23\cdot 89</math>.

* Любой делитель числа <math>M_p</math> для простого ''p'' имеет вид 2''pk''+1, где ''k'' — натуральное число (следствие малой теоремы Ферма).


== Простые числа Мерсенна ==


'''Определение'''

'''Числа Ферма''' — числа вида <math>F_n=2^{2^n}+1</math>, где ''n'' — неотрицательное целое число. 

При <math>n = 0, 1, 2, 3, 4</math> числа Ферма простые: <math>3, 5, 17, 257, 65537</math>. 

Все числа Мерсенна и Ферма – взаимно простые.