Числа Мерсенна и Ферма — различия между версиями
Isaeva (обсуждение | вклад) |
Isaeva (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 38: | Строка 38: | ||
'''Операции над числами Мерсенна и Ферма''' | '''Операции над числами Мерсенна и Ферма''' | ||
| + | |||
| + | 1. Если в качестве модулей <math>p_j</math> выбраны числа Мерсенна, т.е. числа вида <math>p_j = 2^{e_j} - 1</math>, для которых значение модуля на единицу меньше очередной степени двойки, это зачастую упрощает выполнение основных арифметических операций, так как выполнять вычисления с числами в таком представлении несколько проще, чем с числами, представленными в обратном коде. | ||
| + | |||
| + | При таком выборе модулей полезно несколько ослабить условие <math>0 \le {\alpha} < p_i</math> и потребовать только чтобы | ||
| + | |||
| + | :<math>0 \le {\alpha}_j < 2^{e_j}, a_i \equiv A \pmod{{e_j}-1} </math>. | ||
| + | |||
| + | Таким образом, значение <math>{\alpha}_j = p_j = 2^{e_j}-1</math> принимается в качестве оптимального вместо <math>{\alpha}_j = 0</math>, поскольку это, с одной стороны, не влияет на справедливость китайской теоремы об остатках, а с другой означает, что math>{\alpha}_j</math> может быть любым math>{\alpha}_j</math>- битовым двоичным числом. При таком допущении, операции сложения и вычитания по модулю выполняются следующим образом: | ||
| + | |||
| + | |||
| + | :<math>{\alpha}_j \oplus {\beta}_j = (({\alpha}_j + {\beta}_j) \pmod{e_j}) + \lfloor ({\alpha}_j + {\beta}_j) \ge 2^{e_j} \rfloor</math>, | ||
| + | |||
| + | :<math>{\alpha}_j \otimes {\beta}_j = ({\alpha}_j \cdot {\beta}_j \pmod{e_j}) \oplus \lfloor ({\alpha}_j \cdot {\beta}_j) / 2^{e_j} \rfloor</math>. | ||
Версия 10:10, 25 декабря 2014
При рассмотрении отдельных классов простых чисел значительный интерес представляет вопрос о простых числах специального вида, например, числа Мерсенна или числа Ферма.
Определение
Числа Мерсенна — числа вида 
, где 
— натуральное число.
Названы в честь французского математика Марена Мерсенна.
Иногда числами Мерсенна называют только числа 
с нечетными или простыми индексами n.
Множества простых чисел в этих последовательностях совпадают, а потому понятие простого числа Мерсенна не зависит от того, как именно определяются числа Мерсенна.
При простых значениях n = p число может оказаться простым, но может быть составным.
Например, при 
мы получаем простые числа Мерсенна: 
, а при 
числа 
- составные.
Свойства чисел Мерсенна
- Если является простым, то число n также простое. Обратное в общем случае неверно, наименьшим контрпримером является
.
- Любой делитель числа
для простого p имеет вид 2pk+1, где k — натуральное число (следствие малой теоремы Ферма).
Числа Мерсенна получили известность в связи с эффективным тестом простоты Люка — Лемера, благодаря которому простые числа Мерсенна давно удерживают лидерство как самые большие известные простые числа.
Определение
Числа Ферма — числа вида 
, где n — неотрицательное целое число.
При 
числа Ферма простые: 
.
Все числа Мерсенна и Ферма – взаимно простые.
Необходимо отметить, что значения чисел Мерсенна и Ферма быстро растут. Это не позволяет только такими числами в качестве модулей СОК.
Операции над числами Мерсенна и Ферма
1. Если в качестве модулей 
выбраны числа Мерсенна, т.е. числа вида 
, для которых значение модуля на единицу меньше очередной степени двойки, это зачастую упрощает выполнение основных арифметических операций, так как выполнять вычисления с числами в таком представлении несколько проще, чем с числами, представленными в обратном коде.
При таком выборе модулей полезно несколько ослабить условие 
и потребовать только чтобы
.
Таким образом, значение 
принимается в качестве оптимального вместо 
, поскольку это, с одной стороны, не влияет на справедливость китайской теоремы об остатках, а с другой означает, что math>{\alpha}_j</math> может быть любым math>{\alpha}_j</math>- битовым двоичным числом. При таком допущении, операции сложения и вычитания по модулю выполняются следующим образом:
,
.
