Сравнения и их основные свойства — различия между версиями

Материал из Модулярная арифметики
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «Возьмём произвольное фиксированное натуральное число <math> m </math> и будем рассматривать о…»)
 
Строка 4: Строка 4:
  
 
== Определения ==
 
== Определения ==
 +
 +
Определение. Два целых числа <math> a </math> и <math> b </math> называются '''сравнимыми по модулю <math> m </math>''', если их разность <math> a-b </math> делится без остатка на <math> m </math>.
 +
 +
Символически сравнимость записывается в виде формулы ('''сравнения'''):
 +
: <math>a \equiv b \pmod{m}</math>
 +
 +
Число <math> m </math> называется '''модулем''' сравнения.
 +
 +
Эквивалентная формулировка:
 +
 +
Определение. Целые числа <math> a </math> и <math> b </math> называются '''сравнимыми по модулю <math> m </math>''', если остатки от деления этих чисел на <math> m </math> равны.
  
 
== Примеры ==
 
== Примеры ==
Строка 16: Строка 27:
  
 
Таким образом, отношение сравнимости по модулю <math> m </math> является отношением эквивалентности на множестве целых чисел.
 
Таким образом, отношение сравнимости по модулю <math> m </math> является отношением эквивалентности на множестве целых чисел.
 +
 +
== Классы вычетов ==
 +
 +
Отнесём все целые числа, дающие при делении на <math> m </math>  один и тот же остаток в один класс, поэтому получится <math> m </math> различных классов по модулю <math> m </math>.
 +
 +
Множество всех чисел сравнимых с <math> a </math> по модулю <math> m </math> называется '''классом вычетов''' <math> a </math> по модулю <math> m </math>.

Версия 09:54, 28 августа 2014

Возьмём произвольное фиксированное натуральное число m и будем рассматривать остатки при делении на m различных целых чисел.

При рассмотрении свойств этих остатков и проведении операций над ними удобно ввести понятие сравнения по модулю.

Определения

Определение. Два целых числа a и b называются сравнимыми по модулю m , если их разность a-b делится без остатка на m .

Символически сравнимость записывается в виде формулы (сравнения):

a \equiv b \pmod{m}

Число m называется модулем сравнения.

Эквивалентная формулировка:

Определение. Целые числа a и b называются сравнимыми по модулю m , если остатки от деления этих чисел на m равны.

Примеры

Свойства

Для фиксированного натурального числа m отношение сравнимости по модулю m обладает следующими свойствами:

Таким образом, отношение сравнимости по модулю m является отношением эквивалентности на множестве целых чисел.

Классы вычетов

Отнесём все целые числа, дающие при делении на m один и тот же остаток в один класс, поэтому получится m различных классов по модулю m .

Множество всех чисел сравнимых с a по модулю m называется классом вычетов a по модулю m .

Источник — «https://vscripts.ru/w/index.php?title=Сравнения_и_их_основные_свойства&oldid=966»