Сравнения и их основные свойства — различия между версиями

Версия 10:19, 23 января 2015

Возьмём произвольное фиксированное натуральное число $m$ и будем рассматривать остатки при делении на $m$ различных целых чисел.

При рассмотрении свойств этих остатков и проведении операций над ними удобно ввести понятие сравнения по модулю.

Определения

Определение. Два целых числа $a$ и $b$ называются сравнимыми по модулю $m$ , если их разность $a-b$ делится без остатка на $m$ .

Символически сравнимость записывается в виде формулы (сравнения):

$a \equiv b \pmod{m}$

Число $m$ называется модулем сравнения.

Если разность $a-b$ не делится на $m$ , то запишем:

$a \not \equiv b \pmod{m}$ .

Согласно определению, $a \equiv 0 \pmod{m}$ означает, что $a$ делится на $m$ .

Теорема. $a$ сравнимо с $b$ тогда и только тогда, когда $a$ и $b$ имеют одинаковые остатки при делении на $m$ . Поэтому в качестве определения сравнения можно взять следующую эквивалентную формулировку:

Определение. Целые числа $a$ и $b$ называются сравнимыми по модулю $m$ , если остатки от деления этих чисел на $m$ равны.

Примеры

$101 \equiv 17 \pmod{21}$ , т. к. 101 – 17 = 84, а 84 делится без остатка на 21.

$135 \equiv 11 \pmod{4}$ , т. к. оба числа 135 и 11 при делении на 4 дают остаток 3.

Свойства

Для фиксированного натурального числа $m$ отношение сравнимости по модулю $m$ обладает следующими свойствами:

Рефлексивность: для любого целого $a$ справедливо $a \equiv a \pmod m$ .

Симметричность: если $a \equiv b \pmod m$ , то $b \equiv a \pmod m$ .

Транзитивность: если $a \equiv b \pmod m$ и $b \equiv c \pmod m$ , то $a \equiv c \pmod m$ .

Таким образом, отношение сравнимости по модулю $m$ является отношением эквивалентности на множестве целых чисел.

Другие свойства:

Обе части сравнения можно умножить на произвольное целое число. Если $a \equiv b \pmod m$ и $k$ – произвольное целое число, то $k \cdot a \equiv k \cdot b \pmod m$ .

Обе части сравнения можно разделить на их общий делитель, если он взаимно прост с модулем. Если $k \cdot a \equiv k \cdot b \pmod m$ и $(k, m) = 1$ , то $a \equiv b \pmod m$ .

Обе части сравнения и модуль можно умножить на одно и то же целое. Если $a \equiv b \pmod m$ и $k$ – произвольное натуральное число, то $k \cdot a \equiv k \cdot b \pmod {k \cdot m}$ .

Обе части сравнения и модуль можно разделить на любой их общий делитель. Если $k \cdot a \equiv k \cdot b \pmod {k \cdot m}$ , где $k$ и $m$ – произвольные натуральные числа, то $a \equiv b \pmod m$ .

К любой части сравнения можно прибавить (или отнять от нее) любое число, кратное модуля. Если $a \equiv b \pmod m$ то при любом целом $n$ $a+n\cdot m \equiv b \pmod m$ .

Сравнения можно почленно складывать и вычитать. Если $a \equiv b \pmod m$ и $c \equiv d \pmod m$ , то $a+c \equiv b+d \pmod m$ и $a-c \equiv b-d \pmod m$ .

Любое слагаемое левой или правой части сравнения можно перенести с противоположным знаком в другую часть.

Сравнения можно почленно перемножать. Если $a \equiv b \pmod m$ и $c \equiv d \pmod m$ , то $a \cdot c \equiv b \cdot d \pmod m$ .

Если $a \equiv b \pmod m$ и $f(x) = c_0 + c_1 \cdot x_1 + \ldots + c_n \cdot x_n$ - произвольный многочлен с целыми коэффициентами, то $f(a) = f(b) \pmod m$ .

Если сравнение выполняется по модулю $m$ , то оно выполняется и по модулю $d$ , равному любому делителю числа $m$ . Если $a \equiv b \pmod m$ и $m/d$ , то $a \equiv b \pmod d$ .

Если $a \equiv b \pmod m$ , то множество общих делителей $a$ и $m$ совпадает с множеством общих делителей $b$ и $m$ . В частности, $(a,m) = (b,m)$ .

Если $a \equiv b \pmod m_1, a \equiv b \pmod m_2, \ldots, a \equiv b \pmod m_s$ , то $a \equiv b \pmod m$ , где $m = [m_1, m_2, \ldots, m_s]$ .

Классы вычетов

Отнесём все целые числа, дающие при делении на $m$ один и тот же остаток в один класс, поэтому получится $m$ различных классов по модулю $m$ .

Множество всех чисел сравнимых с $a$ по модулю $m$ называется классом вычетов $a$ по модулю $m$ .

@@ Строка 35: / Строка 35: @@
 Для фиксированного натурального числа <math> m </math> отношение сравнимости по модулю <math> m </math> обладает следующими свойствами:
 * '''Рефлексивность:''' для любого целого <math>a</math> справедливо <math> a \equiv a \pmod m </math>.
 * '''Симметричность:''' если <math> a \equiv b \pmod m </math>, то <math> b \equiv a \pmod m </math>.
 * '''Транзитивность:''' если <math> a \equiv b \pmod m </math> и <math> b \equiv c \pmod m </math>, то <math> a \equiv c \pmod m </math>.
 Таким образом, отношение сравнимости по модулю <math>m</math> является отношением эквивалентности на множестве целых чисел.
@@ Строка 45: / Строка 51: @@
 Другие свойства:
-* Если <math>a \equiv b \pmod m</math> и <math>k</math> – произвольное целое число, то <math> k \cdot a \equiv k \cdot b \pmod m</math>.
-* Если <math> k \cdot a \equiv k \cdot b \pmod m </math> и <math> (k, m) = 1 </math>, то <math>a \equiv b \pmod m</math>.
+* Обе части сравнения можно умножить на произвольное целое число. Если <math>a \equiv b \pmod m</math> и <math>k</math> – произвольное целое число, то <math> k \cdot a \equiv k \cdot b \pmod m</math>.
-* Если <math>a \equiv b \pmod m</math> и k – произвольное натуральное число, то <math> k \cdot a \equiv k \cdot b \pmod {k \cdot m}</math>.
-* Если <math> k \cdot a \equiv k \cdot b \pmod {k \cdot m}</math>, где <math>k</math> и <math>m</math> – произвольные натуральные числа, то <math>a \equiv b \pmod m</math>.
+* Обе части сравнения можно разделить на их общий делитель, если он взаимно прост с модулем. Если <math> k \cdot a \equiv k \cdot b \pmod m </math> и <math> (k, m) = 1 </math>, то <math>a \equiv b \pmod m</math>.
-* Если <math>a \equiv b \pmod m</math> и <math>c \equiv d \pmod m</math>, то <math>a+c \equiv b+d \pmod m</math> и <math>a-c \equiv b-d \pmod m</math>.
+* Обе части сравнения и модуль можно умножить на одно и то же целое. Если <math>a \equiv b \pmod m</math> и <math>k</math> – произвольное натуральное число, то <math> k \cdot a \equiv k \cdot b \pmod {k \cdot m}</math>.
-* Если <math>a \equiv b \pmod m</math> и <math>c \equiv d \pmod m</math>, то <math>a \cdot c \equiv b \cdot d \pmod m</math>.
-* Если <math>a \equiv b \pmod m</math> и <math>f(x) = c_0 + c_1 \cdot x_1 + \ldots + c_n \cdot x_n</math> - произвольный многочлен с целыми коэффициентами, то <math>f(a) = f(b) \pmod m</math>.
+* Обе части сравнения и модуль можно разделить на любой их общий делитель. Если <math> k \cdot a \equiv k \cdot b \pmod {k \cdot m}</math>, где <math>k</math> и <math>m</math> – произвольные натуральные числа, то <math>a \equiv b \pmod m</math>.
+* К любой части сравнения можно прибавить (или отнять от нее) любое число, кратное модуля. Если <math>a \equiv b \pmod m</math> то при любом целом <math>n</math> <math>a+n\cdot m \equiv b \pmod m</math>.
+* Сравнения можно почленно складывать и вычитать. Если <math>a \equiv b \pmod m</math> и <math>c \equiv d \pmod m</math>, то <math>a+c \equiv b+d \pmod m</math> и <math>a-c \equiv b-d \pmod m</math>.
 * Любое слагаемое левой или правой части сравнения можно перенести с противоположным знаком в другую часть.
-* Если <math>a \equiv b \pmod m</math> и <math>d/m</math>, то <math>a \equiv b \pmod d</math>.
+* Сравнения можно почленно перемножать. Если <math>a \equiv b \pmod m</math> и <math>c \equiv d \pmod m</math>, то <math>a \cdot c \equiv b \cdot d \pmod m</math>.
+* Если <math>a \equiv b \pmod m</math> и <math>f(x) = c_0 + c_1 \cdot x_1 + \ldots + c_n \cdot x_n</math> - произвольный многочлен с целыми коэффициентами, то <math>f(a) = f(b) \pmod m</math>.
+* Если сравнение выполняется по модулю <math>m</math>, то оно выполняется и по модулю <math>d</math>, равному любому делителю числа <math>m</math>. Если <math>a \equiv b \pmod m</math> и <math>m/d</math>, то <math>a \equiv b \pmod d</math>.
 * Если <math>a \equiv b \pmod m</math>, то множество общих делителей <math>a</math> и <math>m</math> совпадает с множеством общих делителей <math>b</math> и <math>m</math>. В частности, <math>(a,m) = (b,m)</math>.
 * Если <math>a \equiv b \pmod m_1, a \equiv b \pmod m_2, \ldots, a \equiv b \pmod m_s</math>, то <math>a \equiv b \pmod m</math>, где <math>m = [m_1, m_2, \ldots, m_s]</math>.

Сравнения и их основные свойства — различия между версиями

Версия 10:19, 23 января 2015

Содержание

Определения

Примеры

Свойства

Классы вычетов

Навигация

Персональные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Действия

Поиск

Навигация

Инструменты