Система остаточных классов - введение — различия между версиями
Turbo (обсуждение | вклад) |
Turbo (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 7: | Строка 7: | ||
Для целых чисел: | Для целых чисел: | ||
| − | + | Определение. Говорят, что целое число <math>n \in Z</math> делится на натуральное число <math>m \in Z</math> с остатком, если имеется пара целых чисел <math>q</math> и <math>r</math>, таких, что <math>n = m \cdot q+r</math> и <math>0\le r<|m|</math>. | |
| − | Определение. | + | |
Версия 16:54, 27 августа 2014
Содержание
Теоретико-числовая база построения системы остаточных классов
Напомним определение деления с остатком.
Определение. Говорят, что целое число 
делится на натуральное число 
с остатком, если имеется пара целых чисел 
и 
, таких, что 
и 
.
называется делимым, - делителем, - неполным частным, - остатком.
Для целых чисел:
Определение. Говорят, что целое число 
делится на натуральное число 
с остатком, если имеется пара целых чисел и , таких, что и 
.
Пример: 48 при делении на 5 даёт остаток 3, т.к. 
, 
, -48 при делении на 5 даёт остаток 2, т.к. 
, 
.
Сравнения и их основные свойства
Возьмём произвольное фиксированное натуральное число и будем рассматривать остатки при делении на различных целых чисел.
При рассмотрении свойств этих остатков и проведении операций над ними удобно ввести понятие сравнения по модулю.
Определение. Два целых числа 
и 
называются сравнимыми по модулю m, если их разность Невозможно разобрать выражение (лексическая ошибка): a − b
делится без остатка на
Символически сравнимость записывается в виде формулы (сравнения):
Число называется модулем сравнения.
Эквивалентная формулировка:
Определение. Целые числа и называются сравнимыми по модулю m, если остатки от деления этих чисел на равны.
Отношение сравнимости по модулю обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, т.е. является отношением эквивалентности.
Отнесём все целые числа, дающие при делении на один и тот же остаток в один класс, поэтому получится различных классов по модулю .
Множество всех чисел сравнимых с по модулю называется классом вычетов по модулю .
Подробнее о свойствах сравнений и классах вычетов смотри Сравнения и их основные свойства
Теорема о делении с остатком. Алгоритм Евклида
Теорема о делении с остатком
для любых целых a и b,
, существует единственный набор целых чисел q и r, что a = bq + r и 
, где |b| — модуль числа b.
На этой операции основан алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел.
Алгоритм Евклида для целых чисел
Пусть и — целые числа, не равные одновременно нулю, и последовательность чисел
определена тем, что каждое 
— это остаток от деления предпредыдущего числа на предыдущее, а предпоследнее делится на последнее нацело, то есть
Тогда НОД(a,b), наибольший общий делитель и , равен
, последнему ненулевому члену этой последовательности.
Существование таких 
, то есть возможность деления с остатком на для любого целого и целого 
, доказывается индукцией.
Корректность этого алгоритма вытекает из следующих двух утверждений:
- Пусть
, тогда НОД (, ) = НОД (, ).
- НОД(0,) = для любого ненулевого (так как 0 делится на любое целое число, кроме нуля).
