Система из 4 модулей (2^n-1, 2^n+1, 2^(n+1)-1, 2^(n+1)+1)
Turbo (обсуждение | вклад) |
Turbo (обсуждение | вклад) |
||
Строка 150: | Строка 150: | ||
* значение <math>m_1</math> должно быть больше <math>m_2</math> | * значение <math>m_1</math> должно быть больше <math>m_2</math> | ||
− | Можно заметить что если <math>m_1, m_2</math> взаимно просты, то <math>d=1</math> и формула превращается в стандартную формулу полиадического кода (Mixed Radix System) | + | Можно заметить что если <math>m_1, m_2</math> взаимно просты, то <math>d=1</math> и формула превращается в стандартную формулу полиадического кода (Mixed Radix System). |
+ | |||
+ | Обратный преобразователь для системы модулей из четырех элементов состоит из двух уровней. На первом уровне считаются промежуточные значения <math>A_1</math> и <math>A_2</math> (по формулам CRT III): | ||
+ | |||
+ | <math>A1 = x2+(2^{n}+1)\cdot|(2^n+1)^{-1}\cdot(x1-x2)|_{2^{n}-1} = x2+(2^{n}+1)\cdot|2^{n-1}\cdot(x1-x2)|_{2^{n}-1}</math> | ||
+ | |||
+ | <math>A2 = y2+(2^{n+1}+1)\cdot|(2^{n+1}+1)^{-1}\cdot(y1-y2)|_{2^{n+1}-1} = y2+(2^{n+1}+1)\cdot|(2^{n}\cdot(y1-y2)|_{2^{n+1}-1}</math> | ||
+ | |||
+ | Как видно рассчет обоих коэфициентов легко реализуется на схемном уровне: | ||
+ | * Умножение на <math>2^{n-1}</math> по сути сдвиг | ||
+ | * Умножение <math>(2^{n}+1)\cdot T=T\cdot 2^{n}+T</math> - сдвиг и сложение | ||
+ | * Вычет по модулю <math>{2^{n}-1}</math> - одно сложение, вычитание и мультиплексор. |
Версия 15:43, 20 мая 2013
Система модулей {2n-1, 2n+1, 2n+1-1, 2n+1+1} - не является попарно взаимно простой, что несколько сокращает её динамический диапазон, но как будет показано не существенно.
Содержание |
Динамический диапазон
где - наименьшее общее кратное.
Что бы найти , требуется определить наибольший общий делитель() для всех четырех модулей. Так как и , а также и взаимнопросты, то необходимо найти наибольший общий делитель их попарного произведения.
Отсюда по формуле для вычисления :
Таблица покрытия
n |
Базис |
Покрываемый интервал [0;M) |
Бинарная битность |
2 |
3, 5, 7, 9 |
[0; 315) |
8 |
3 |
7, 9, 15, 17 |
[0; 5355) |
12 |
4 |
15, 17, 31, 33 |
[0; 86955) |
16 |
8 |
255, 257, 511, 513 |
[0; 5726513835) |
32 |
16 |
65535, 65537, 131071, 131073 |
[0; 24595658757787789995) |
64 |
Прямое преобразование
Для прямого преобразования используются следующие свойства:
и
которое позволяет для преобразования целого числа в модулярное представление использовать следующие формулы:
- Количество слагаемых определяется размерностью входных данных.
- Запись - означает взять биты из двоичной записи числа с позиции до позиции .
Так как значение внутри модуля незначительно превосходит сам модуль, то ответ можно получить по следующей схеме:
при условии что максимально возможное значение менее чем
Обратное преобразование
Обратное преобразование строится на базе CRT III (Китайская теорема об остатках ver.3) [1]. Если задана система из двух модулей то значение может быть найдено по следующей формуле:
где
- - НОД (наибольший общий делитель)
- - обратный элемент к по модулю
- значение должно быть больше
Можно заметить что если взаимно просты, то и формула превращается в стандартную формулу полиадического кода (Mixed Radix System).
Обратный преобразователь для системы модулей из четырех элементов состоит из двух уровней. На первом уровне считаются промежуточные значения и (по формулам CRT III):
Как видно рассчет обоих коэфициентов легко реализуется на схемном уровне:
- Умножение на по сути сдвиг
- Умножение - сдвиг и сложение
- Вычет по модулю - одно сложение, вычитание и мультиплексор.