Сравнения и их основные свойства

Возьмём произвольное фиксированное натуральное число $m$ и будем рассматривать остатки при делении на $m$ различных целых чисел.

При рассмотрении свойств этих остатков и проведении операций над ними удобно ввести понятие сравнения по модулю.

Определения

Определение. Два целых числа $a$ и $b$ называются сравнимыми по модулю $m$, если их разность $a-b$ делится без остатка на $m$.

Символически сравнимость записывается в виде формулы (сравнения):

$a \equiv b \pmod{m}$

Число $m$ называется модулем сравнения.

Если разность $a-b$ не делится на $m$, то запишем:

$a \not \equiv b \pmod{m}$.

Согласно определению, $a \equiv 0 \pmod{m}$ означает, что $a$ делится на $m$.

Теорема. $a$ сравнимо с $b$ тогда и только тогда, когда $a$ и $b$ имеют одинаковые остатки при делении на $m$. Поэтому в качестве определения сравнения можно взять следующую эквивалентную формулировку:

Определение. Целые числа $a$ и $b$ называются сравнимыми по модулю $m$, если остатки от деления этих чисел на $m$ равны.

Примеры

$101 \equiv 17 \pmod{21}$ , т. к. 101 – 17 = 84, а 84 делится без остатка на 21.

$135 \equiv 11 \pmod{4}$ , т. к. оба числа 135 и 11 при делении на 4 дают остаток 3.

Свойства

Для фиксированного натурального числа $m$ отношение сравнимости по модулю $m$ обладает следующими свойствами:

• Рефлексивность: для любого целого $a$ справедливо $a \equiv a \pmod m$.
• Симметричность: если $a \equiv b \pmod m$, то $b \equiv a \pmod m$.
• Транзитивность: если $a \equiv b \pmod m$ и $b \equiv c \pmod m$, то $a \equiv c \pmod m$.

Таким образом, отношение сравнимости по модулю $m$ является отношением эквивалентности на множестве целых чисел.

Другие свойства:

• Если $a \equiv b \pmod m$ и k – произвольное целое число, то $k \cdot a \equiv k \cdot b \pmod m$.

• Если $k \cdot a \equiv k \cdot b \pmod m$ и $(k, m) = 1$, то $a \equiv b \pmod m$.

• Если $a \equiv b \pmod m,$ и k – произвольное натуральное число, то $k \cdot a \equiv k \cdot b \pmod {k \cdot m}$.

• Если $k \cdot a \equiv k \cdot b \pmod {k \cdot m}$, где k и m – произвольные натуральные числа, то $a \equiv b \pmod m$.

Классы вычетов

Отнесём все целые числа, дающие при делении на $m$ один и тот же остаток в один класс, поэтому получится $m$ различных классов по модулю $m$.

Множество всех чисел сравнимых с $a$ по модулю $m$ называется классом вычетов $a$ по модулю $m$.