Числа Мерсенна и Ферма

Текущая версия на 17:43, 19 января 2015

При рассмотрении отдельных классов простых чисел значительный интерес представляет вопрос о простых числах специального вида, таких, например, как числа Мерсенна или числа Ферма.

Определение

Числа Мерсенна — числа вида $M_n = 2^n - 1$ , где $n$ — натуральное число. Названы в честь французского математика Марена Мерсенна.

Иногда числами Мерсенна называют только числа $M_n$ с нечетными или простыми индексами n.

Множества простых чисел в этих последовательностях совпадают, а потому понятие простого числа Мерсенна не зависит от того, как именно определяются числа Мерсенна.

При простых значениях n = p число может оказаться простым, но может быть составным. Например, при $p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19$ мы получаем простые числа Мерсенна: $3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287$ , а при $p = 11, 23, 29$ числа $2^p - 1$ - составные.

Свойства чисел Мерсенна

Если $M_n$ является простым, то число n также простое. Обратное в общем случае неверно, наименьшим контрпримером является $M_{11} = 2047 = 23\cdot 89$ .

Любой делитель числа $M_p$ для простого p имеет вид 2pk+1, где k — натуральное число (следствие малой теоремы Ферма).

Числа Мерсенна получили известность в связи с эффективным тестом простоты Люка — Лемера, благодаря которому простые числа Мерсенна давно удерживают лидерство как самые большие известные простые числа.

Определение

Числа Ферма — числа вида $F_n=2^{2^n}+1$ , где n — неотрицательное целое число.

При $n = 0, 1, 2, 3, 4$ числа Ферма простые: $3, 5, 17, 257, 65537$ .

Все числа Мерсенна и Ферма – взаимно простые.

Необходимо отметить, что значения чисел Мерсенна и Ферма быстро растут. Это не позволяет ограничиться только такими числами в качестве модулей СОК.

Операции над числами Мерсенна и Ферма

1. Если в качестве модулей $p_j$ выбраны числа Мерсенна, т.е. числа вида $p_j = 2^{e_j} - 1$ , для которых значение модуля на единицу меньше очередной степени двойки, это зачастую упрощает выполнение основных арифметических операций, так как выполнять вычисления с числами в таком представлении несколько проще, чем с числами, представленными в обратном коде.

При таком выборе модулей полезно несколько ослабить условие $0 \le {\alpha} < p_i$ и потребовать только чтобы

$0 \le {\alpha}_j < 2^{e_j}, a_j \equiv A \pmod{{e_j}-1}$ . (1)

Таким образом, значение ${\alpha}_j = p_j = 2^{e_j}-1$ принимается в качестве оптимального вместо ${\alpha}_j = 0$ , поскольку это, с одной стороны, не влияет на справедливость китайской теоремы об остатках, а с другой означает, что math>{\alpha}_j</math> может быть любым math>{\alpha}_j</math>- битовым двоичным числом. При таком допущении, операции сложения и вычитания по модулю $p_j$ выполняются следующим образом:

${\alpha}_j \oplus {\beta}_j = (({\alpha}_j + {\beta}_j) \pmod{e_j}) + \lfloor ({\alpha}_j + {\beta}_j) \ge 2^{e_j} \rfloor$ ,

${\alpha}_j \otimes {\beta}_j = ({\alpha}_j \cdot {\beta}_j \pmod{e_j}) \oplus \lfloor ({\alpha}_j \cdot {\beta}_j) / 2^{e_j} \rfloor$ .

Здесь $\oplus$ и $\otimes$ указывают на действия, которые с учётом условия (1) должны быть выполнены с отдельными компонентами кортежей ${\alpha}_1, {\alpha}_2, \cdots, {\alpha}_n$ и ${\beta}_1, {\beta}_2, \cdots, {\beta}_n$ при сложении или умножении соответственно. При вычитании можно пользоваться и соотношением:

${\alpha}_j \ominus {\beta}_j = (({\alpha}_j - {\beta}_j) \pmod{e_j}) - \left[ {\alpha}_j < {\beta}_j \right]$ .

Эти операции могут быть эффективно выполнены, даже если $2^{e_j}$ больше машинного слова компьютера, так как совсем просто вычислить остаток положительного числа по модулю степени 2 или разложить число по степеням 2. Для работы с модулями вида $2^{e_j}-1$ необходимо знать, при каких условиях число $2^{e_j}-1$ является взаимно простым с числом $2^{\beta}-1$ . Для этого существует простое правило:

$(2^e-1,2^{\beta}-1) = 2^{e,\beta}-1$ . (2)

Формула (2) утверждает, в частности, что

$(2^e-1,2^{\beta}-1) = 1 \Leftrightarrow (e,\beta) = 1$ .

Уравнение (2) следует из алгоритма Евклида и тождества

${(2^e-1)} \pmod {2^{\beta}-1} = 2^{e \pmod {b}} - 1$ .

Поэтому на компьютере с длиной слова $2^{32}$ можно выбрать

$p_1 = 2^{32} - 1, p_2 = 2^{31} - 1, p_3 = 2^{29} - 1, p_4 = 2^{27} - 1, p_5 = 2^{25} - 1$ ,

что обеспечивает эффективность сложения, вычитания и умножения целых чисел в интервале вплоть до $p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot p_4 \cdot p_5 > 2^{143}$ .

2. Прямое преобразование для чисел Мерсенна

Модулярное представление $({\alpha}_1, {\alpha}_2, \ldots, {\alpha}_n)$ для заданного числа $A$ может быть получено посредством деления $A$ на $(p_1, p_2, \ldots, p_n)$ с запоминанием остатков. В случае, когда $A = {({\nu}_k, {\nu}_{k-1}, \ldots, {\nu}_0)}_b$ , возможно применение более подходящего способа, который состоит в том, чтобы, используя СОК, вычислить полином

$(\ldots ({\nu}_k \cdot b + {\nu}_{k-1}) \cdot b + \ldots ) b + {\nu}_0)$ .

Если основание $b = 2$ и модули $p_j$ имеют вид $2^{e_j}-1$ , оба подхода сводятся к совсем простому способу.

Рассмотрим двоичные представления числа $A$ с блоками по ${e_j}$ бит:

$A = a_t \cdot N^t + a_{t-1} \cdot N^{t-1} + \ldots + a_1 \cdot N + a_0$ ,

где $N = 2^{e_j}$ и $0 \le a_j < 2^{e_j}$ при $0 \le k \le t$ .

Тогда $A \equiv {(a_t + a_{t-1} + \ldots + a_1 + a_0)} \pmod {2^{e_j}-1}$ , поскольку $N \equiv 1 \pmod{2^{e_j}-1}$ .

Поэтому ${\alpha}_j$ вычисляются путём сложения $e_j$ -битовых чисел ${a_t \oplus a_{t-1} \oplus \ldots \oplus a_1 \oplus a_0} \pmod{2^{e_j}-1}$ .

3. Обратное преобразование для чисел Мерсенна. Алгоритм Гарнера.

Обратный переход от СОК к позиционной системе счисления несколько сложнее. Алгоритм, основанный на китайской теореме об остатках требует вычисления значение функции Эйлера для вычислении обратных мультипликативных элементов, что в общем случае требует факторизации, т.е. разложения чисел $p_j$ на простые множители. Даже это показывает, что обратное преобразование чисел из СОК в позиционную систему счисления в соответствии с этим алгоритмом требует большого числа вычислительных операций с высокой точностью. Алгоритм перехода от ${\alpha}_1, {\alpha}_2, \cdots, {\alpha}_n$ к $A$ , пригодный для практического применения, основан на доказательстве китайской теоремы об остатках, предложенном в 1958 г. Х. Л. Гарнером. Оно основано на использовании ${C}_n^k$ констант $c_{ij} (1 \le i \le j \le k)$ , где

$c_{ij} \equiv 1 \pmod{p_j}$ , (3)

, т.е.

$c_{ij} = p_i^{-1} \pmod{p_j}$ .

Алгоритм Гарнера

Рассмотрим набор модулей $(p_1, p_2, \dots, p_n)$ , удовлетворяющих условию китайской теоремы об остатках. Любое число $0 \leqslant x < M = a_1\cdot a_2 \cdot\ldots\cdot a_n$ однозначно представимо в виде

$x = x_1 + x_2\cdot p_1 + x_3\cdot p_1\cdot p_2 + \dots + x_n\cdot p_1\cdot p_2\cdot\ldots\cdot p_{n-1}$ .

Вычислив по порядку все коэффициенты $x_i$ для $i \in \{1, 2, \dots, n\}$ , можно подставить их в формулу и найти искомое решение:

Рассмотрим выражение для $x$ по модулю $p_i$ , где $i\in \{2, \dots, n\}$ , получим:

$x_1 = r_1$ ;

$r_2 = (x_1 + x_2\cdot p_1) \pmod{p_2}$ ;

$x_2 = (r_2 - x_1)\cdot c_{12} \pmod{p_2}$ ;

$r_3 = (x_1 + x_2\cdot p_1 + x_3\cdot p_1\cdot p_2) \pmod{p_3}$ ;

$x_3 = ((r_3 - x_1)\cdot c_{13} - x_2)\cdot c_{23} \pmod{p_3}$

и так далее.

Основное преимущество алгоритма Гарнера заключается в том, что вычисления производятся с числами, не превышающими величину модуля M.

Константы $c_{ij}$ можно вычислить заранее с помощью расширенного алгоритма Евклида, который по заданным $i$ и $j$ позволяет определить числа $a$ и $b$ такие, что $a\cdot p_i + b\cdot p_j = (p_i, p_j) = 1$ , и можно положить $c_{ij} = a$ . В частности, для величины, обратной к $2^{\alpha} - 1$ по модулю $2^{\beta} - 1$ , легко получить сравнительно простую формулу

$((1+2^d+\ldots +2^{{c-1}\cdot d})\cdot ({2^{\alpha} - 1})) \pmod {(2^{\beta} - 1)} = 1$ ,

где $\alpha \pmod {\beta} = d$ и $c \alpha \pmod {\beta} = 1$ .

Действительно, если $\alpha = {\beta} +k\cdot q$ , то

$2^{\alpha} = 2^{\beta} \cdot (2^q)^k \equiv 2^{\beta} \cdot 1^k \pmod{2^q - 1}$ .

Поэтому при $2^{\alpha} \equiv 2^{\beta} \pmod{2^q - 1}$ имеем $2^{{\alpha}\pmod{q}} \equiv 2^{{\beta}\pmod{q}} \pmod{2^q - 1}$ ; а так как эти последние величины расположены между нулём и ${2^q - 1}$ , должно выполняться ${\alpha}\pmod{q} = {\beta}\pmod{q}$ .

Тогда

$((1+2^d+\ldots +2^{{c-1}\cdot d})\cdot ({2^{\alpha} - 1})) \equiv ((1+2^d+\ldots +2^{{c-1}\cdot d})\cdot (2^{d}-1)) =$

$= 2^{cd} - 1 \equiv 2^{c\alpha} - 1 \equiv 2^1 - 1 \equiv 1\pmod {(2^{\beta} - 1)}$ .

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-При рассмотрении отдельных классов простых чисел значительный интерес представляет вопрос о простых числах специального вида, например, числа Мерсенна или числа Ферма.
+При рассмотрении отдельных классов простых чисел значительный интерес представляет вопрос о простых числах специального вида, таких, например, как числа Мерсенна или числа Ферма.
@@ Строка 12: / Строка 12: @@
 При простых значениях n = p число   может оказаться простым, но может быть составным.
-Например, при <math>p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19</math> мы получаем простые числа Мерсенна: <math>3, 7, 31, 127, 8191, 131071</math>, а при <math>p = 11, 23, 29</math> числа <math>2^p - 1</math> - составные.
+Например, при <math>p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19</math> мы получаем простые числа Мерсенна: <math>3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287</math>, а при <math>p = 11, 23, 29</math> числа <math>2^p - 1</math> - составные.
 '''Свойства чисел Мерсенна'''
@@ Строка 34: / Строка 34: @@
-Необходимо отметить, что значения чисел Мерсенна и Ферма быстро растут. Это не позволяет только такими числами в качестве модулей СОК.
+Необходимо отметить, что значения чисел Мерсенна и Ферма быстро растут. Это не позволяет ограничиться только такими числами в качестве модулей СОК.
 '''Операции над числами Мерсенна и Ферма'''
+. Если в качестве модулей <math>p_j</math> выбраны числа Мерсенна, т.е. числа вида <math>p_j = 2^{e_j} - 1</math>, для которых значение модуля на единицу меньше очередной степени двойки, это зачастую упрощает выполнение основных арифметических операций, так как выполнять вычисления с числами в таком представлении несколько проще, чем с числами, представленными в обратном коде.
+При таком выборе модулей полезно несколько ослабить условие <math>0 \le {\alpha} < p_i</math> и потребовать только чтобы
+:<math>0 \le {\alpha}_j < 2^{e_j}, a_j \equiv A \pmod{{e_j}-1} </math>. (1)
+Таким образом, значение <math>{\alpha}_j = p_j = 2^{e_j}-1</math> принимается в качестве оптимального вместо <math>{\alpha}_j = 0</math>, поскольку это, с одной стороны, не влияет на справедливость китайской теоремы об остатках, а с другой означает, что math>{\alpha}_j</math> может быть любым math>{\alpha}_j</math>- битовым двоичным числом. При таком допущении, операции сложения и вычитания по модулю <math>p_j</math> выполняются следующим образом:
+:<math>{\alpha}_j \oplus {\beta}_j  = (({\alpha}_j + {\beta}_j) \pmod{e_j}) + \lfloor ({\alpha}_j + {\beta}_j) \ge 2^{e_j} \rfloor</math>,
+:<math>{\alpha}_j \otimes {\beta}_j  = ({\alpha}_j \cdot {\beta}_j \pmod{e_j}) \oplus \lfloor ({\alpha}_j \cdot {\beta}_j) / 2^{e_j} \rfloor</math>.
+Здесь <math> \oplus </math> и <math> \otimes </math> указывают на действия, которые с учётом условия (1) должны быть выполнены с отдельными компонентами кортежей
+<math>{\alpha}_1, {\alpha}_2, \cdots, {\alpha}_n</math> и <math>{\beta}_1, {\beta}_2, \cdots, {\beta}_n</math> при сложении или умножении соответственно. При вычитании можно пользоваться и соотношением:
+:<math>{\alpha}_j \ominus {\beta}_j  = (({\alpha}_j - {\beta}_j) \pmod{e_j}) - \left[ {\alpha}_j < {\beta}_j \right]</math>.
+Эти операции могут быть эффективно выполнены, даже если <math>2^{e_j}</math> больше машинного слова компьютера, так как совсем просто вычислить остаток положительного числа по модулю степени 2 или разложить число по степеням 2. Для работы с модулями вида <math>2^{e_j}-1</math> необходимо знать, при каких условиях число <math>2^{e_j}-1</math> является взаимно простым с числом <math>2^{\beta}-1</math>. Для этого существует простое правило:
+:<math>(2^e-1,2^{\beta}-1) = 2^{e,\beta}-1</math>. (2)
+Формула (2) утверждает, в частности, что
+:<math>(2^e-1,2^{\beta}-1) = 1 \Leftrightarrow (e,\beta) = 1</math>.
+Уравнение (2) следует из алгоритма Евклида и тождества
+:<math>{(2^e-1)} \pmod {2^{\beta}-1} = 2^{e \pmod {b}} - 1</math>.
+Поэтому на компьютере с длиной слова <math>2^{32}</math> можно выбрать
+<math>p_1 = 2^{32} - 1, p_2 = 2^{31} - 1, p_3 = 2^{29} - 1, p_4 = 2^{27} - 1, p_5 = 2^{25} - 1</math>,
+что обеспечивает эффективность сложения, вычитания и умножения целых чисел в интервале вплоть до <math>p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot p_4 \cdot p_5 > 2^{143}</math>.
+. Прямое преобразование для чисел Мерсенна
+Модулярное представление <math>({\alpha}_1, {\alpha}_2, \ldots, {\alpha}_n)</math> для заданного числа <math>A</math> может быть получено посредством деления <math>A</math> на <math>(p_1, p_2, \ldots, p_n)</math> с запоминанием остатков. В случае, когда <math>A = {({\nu}_k, {\nu}_{k-1}, \ldots, {\nu}_0)}_b</math>, возможно применение более подходящего способа, который состоит в том, чтобы, используя СОК, вычислить полином
+:<math>(\ldots ({\nu}_k \cdot b + {\nu}_{k-1}) \cdot b + \ldots ) b + {\nu}_0)</math>.
+Если основание <math>b = 2</math> и модули <math>p_j</math> имеют вид <math>2^{e_j}-1</math>, оба подхода сводятся к совсем простому способу.
+Рассмотрим двоичные представления числа <math>A</math> с блоками по <math>{e_j}</math> бит:
+:<math>A = a_t \cdot N^t + a_{t-1} \cdot N^{t-1} + \ldots + a_1 \cdot N + a_0</math>,
+где <math>N = 2^{e_j}</math> и <math>0 \le a_j < 2^{e_j}</math> при <math>0 \le k \le t </math>.
+Тогда <math>A \equiv {(a_t + a_{t-1} + \ldots + a_1 + a_0)} \pmod {2^{e_j}-1}</math>, поскольку <math>N \equiv 1 \pmod{2^{e_j}-1}</math>.
+Поэтому <math>{\alpha}_j</math> вычисляются путём сложения <math>e_j</math>-битовых чисел <math>{a_t \oplus a_{t-1} \oplus \ldots \oplus a_1 \oplus a_0} \pmod{2^{e_j}-1}</math>.
+. Обратное преобразование для чисел Мерсенна. Алгоритм Гарнера.
+Обратный переход от СОК к позиционной системе счисления несколько сложнее. Алгоритм, основанный на китайской теореме об остатках требует вычисления значение функции Эйлера для вычислении обратных мультипликативных элементов, что в общем случае требует факторизации, т.е. разложения чисел <math>p_j</math> на простые множители. Даже это показывает, что обратное преобразование чисел из СОК в позиционную систему счисления в соответствии с этим алгоритмом требует большого числа вычислительных операций с высокой точностью.
+Алгоритм перехода от <math>{\alpha}_1, {\alpha}_2, \cdots, {\alpha}_n</math> к <math>A</math>, пригодный для практического применения, основан на доказательстве китайской теоремы об остатках, предложенном в 1958 г. Х. Л. Гарнером. Оно основано на использовании <math>{C}_n^k</math> констант <math>c_{ij} (1 \le i \le j \le k)</math>, где
+:<math>c_{ij} \equiv 1 \pmod{p_j}</math>, (3)
+, т.е.
+:<math>c_{ij} = p_i^{-1} \pmod{p_j}</math>.
+'''Алгоритм Гарнера'''
+Рассмотрим набор модулей <math>(p_1, p_2, \dots, p_n)</math>, удовлетворяющих условию китайской теоремы об остатках. Любое число <math>0 \leqslant x < M = a_1\cdot a_2 \cdot\ldots\cdot a_n</math> однозначно представимо в виде
+<math>x = x_1 + x_2\cdot p_1 + x_3\cdot p_1\cdot p_2 + \dots + x_n\cdot p_1\cdot p_2\cdot\ldots\cdot p_{n-1}</math>.
+Вычислив по порядку все коэффициенты <math>x_i</math> для <math>i \in \{1, 2, \dots, n\}</math>, можно подставить их в формулу и найти искомое решение:
+Рассмотрим выражение для <math>x</math> по модулю <math>p_i</math>, где <math>i\in \{2, \dots, n\}</math>, получим:
+<math>x_1 = r_1</math>;
+<math>r_2 = (x_1 + x_2\cdot p_1) \pmod{p_2}</math>;
+<math>x_2 = (r_2 - x_1)\cdot c_{12} \pmod{p_2}</math>;
+<math>r_3 = (x_1 + x_2\cdot p_1 + x_3\cdot p_1\cdot p_2) \pmod{p_3}</math>;
+<math>x_3 = ((r_3 - x_1)\cdot c_{13} - x_2)\cdot c_{23} \pmod{p_3}</math>
+и так далее.
+Основное преимущество алгоритма Гарнера заключается в том, что вычисления производятся с числами, не превышающими величину модуля M.
+Константы <math>c_{ij}</math> можно вычислить заранее с помощью расширенного алгоритма Евклида, который по заданным <math>i</math> и <math>j</math> позволяет определить числа <math>a</math> и <math>b</math> такие, что <math>a\cdot p_i + b\cdot p_j = (p_i, p_j) = 1</math>, и можно положить <math>c_{ij} = a</math>. В частности, для величины, обратной к <math>2^{\alpha} - 1</math> по модулю <math>2^{\beta} - 1</math>, легко получить сравнительно простую формулу
+:<math>((1+2^d+\ldots +2^{{c-1}\cdot d})\cdot ({2^{\alpha} - 1})) \pmod {(2^{\beta} - 1)} = 1</math>,
+где <math>\alpha \pmod {\beta} = d</math> и <math>c \alpha \pmod {\beta} = 1</math>.
+Действительно, если <math>\alpha = {\beta} +k\cdot q</math>, то
+:<math>2^{\alpha} = 2^{\beta} \cdot (2^q)^k \equiv 2^{\beta} \cdot 1^k \pmod{2^q - 1}</math>.
+Поэтому при <math>2^{\alpha} \equiv 2^{\beta} \pmod{2^q - 1}</math> имеем <math>2^{{\alpha}\pmod{q}} \equiv 2^{{\beta}\pmod{q}} \pmod{2^q - 1}</math>; а так как эти последние величины расположены между нулём и <math>{2^q - 1}</math>, должно выполняться  <math>{\alpha}\pmod{q} = {\beta}\pmod{q}</math>.
+Тогда
+:<math>((1+2^d+\ldots +2^{{c-1}\cdot d})\cdot ({2^{\alpha} - 1})) \equiv ((1+2^d+\ldots +2^{{c-1}\cdot d})\cdot (2^{d}-1)) = </math>
+:<math>= 2^{cd} - 1 \equiv 2^{c\alpha} - 1 \equiv 2^1 - 1 \equiv 1\pmod {(2^{\beta} - 1)}</math>.

Числа Мерсенна и Ферма

Текущая версия на 17:43, 19 января 2015

Персональные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Действия

Поиск

Навигация